14.2 勾股定理的应用-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（华东师大版)

１４．２　勾股定理的应用


● 能解决与勾股定理有关的问题:立体图形中最短 路径问题、网格问题、不规则图形的面积问题等． ● 能将实际问题转化为直角三角形的数学模型,并 能用勾股定理解决简单的实际问题,培养数学应 用意识． 　　 J 知识点一　立体图形中 最短路径问题 在解决立体图形表面两点间最短距离 的问题时,通常将立体图形的侧面展 开成平面图形,将题目转化成平面图 形中两点间的距离问题,然后利用或 构造直角三角形,借助勾股定理解决． '. 常见立体图形的部分表面展开图,如 图１４．２Ｇ１所示． 图１４．２Ｇ１ 【例１】我国古代有这样一道数学问题: “枯木一根直立地上,高二丈,周三尺, 有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶, 问葛藤之长几何?”题意是:如图１４．２Ｇ２ 所示,把枯木看做一个圆柱体,因一丈 是十尺,则该圆柱的高为２０尺,底面 周长为３尺,有葛藤自点A 处缠绕而 上,绕五周后其末端恰好到达点B 处, 则问题中葛藤的最短长度是 尺． 图１４．２Ｇ２ 　　 图１４．２Ｇ３ ６５１ 解析:如图１４．２Ｇ３(示意图),一条直角 边(即枯木的高)长为２０尺,另一条直 角边为５×３＝１５(尺),因此葛藤的最 短长度为 ２０２＋１５２ ＝２５(尺)． 答案:２５ 4 　　求立体图形中最短路径问题的一 般步骤: (１)展平:将立体图形表面展开为平面 图形,只需展开包含相关点的面(可能 存在多种展法)． (２)定点:确定相关点的位置． (３)连 线:连 结 相 关 点,构 造 直 角 三 角形． (４)计算:利用勾股定理求解． 知识点二　勾股定理在 实际生活中的应用 勾股定理在实际生活中应用很广,如 在求高度、宽度、距离等问题时,常需 要画出符合题意的图形,建立数学模 型,将它们转化为几何问题,再直接利 用直角三角形或构造直角三角形,最 后利用勾股定理使问题得以解决． '. 　　利用勾股定理解决实际问题的思路: 从实际问题中抽象出几何图形 →选 定直角三角形 →分析直角三角形三 边 的 数 量 关 系 → 根 据 勾 股 定 理 求解． 【例２】如图１４．２Ｇ４,在公路AB 旁有一危 楼C 需要爆破,已知点C 与公路上的 停靠站A 的距离为３００米,与公路上 另一停靠站 B 的距离为 ４００ 米,且 CA⊥CB,为了安全起见,爆破点C 周 围２５０米范围内不得进入,问:在进行 爆破时,公路 AB 段是否因有危险而 需要暂时封锁? 图１４．２Ｇ４ 解:作CD⊥AB 于点D,如图１４．２Ｇ５ 所示． 因为BC＝４００米,AC＝３００米,∠ACB＝ ９０°,　 根据勾股定理,得AC２＋BC２＝AB２, 即３００２＋４００２＝AB２, 所以AB＝５００米． 因为S△ABC＝ １ ２AB 􀅰CD＝ １ ２BC 􀅰AC, 所以５００CD＝４００×３００, 所以CD＝２４０米． 因为２４０＜２５０,即点C 到AB 的距离 小于２５０米, 所以 有 危 险,公 路 AB 段 需 要 暂 时 封锁． 图１４．２Ｇ５ ７５１ 4 应用勾股定理解决实际问题的步骤: (１)读懂题意,建立数学模型; (２)分析数量关系,将已知条件转化到 图形中; (３)构造直角三角形,应用勾股定理进 行计 算 或 建 立 等 量 关 系,构 建 方 程 求解; (４)确定实际问题的答案． 知识点三　网格问题 正方形网格中格点之间的距离问题, 一般情况下都是应用勾股定理来进行 求解． 利用勾股定理可以在网格图中作出长 为无理数的线段或符合要求的图形; 也可以构造直角三角形,从而求得相 关图形的周长和面积． 【例３】如图１４．２Ｇ６所示,在一个由４×４ 个小正方形组成的正方形网格中,阴 影部分的面积与正方形ABCD 的面积 比是 ． 图１４．２Ｇ６ 解析:设每一个小正方形的边长为１, 则正方形ABCD 的面积就是４×４＝１６, 阴影部分正方形的边长是直角三角形 DEF 的斜边EF 的长, 根据勾股定理可以求出EF＝ １０, 所以阴影部分正方形的面积是(１０)２＝１０． 所以阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积比是１０∶１６＝５∶８． 答案:５∶８ 4 　　利用网格求线段的长的关键是确 定这条线段所在的直角三角形． 类型一　在数轴上利用勾股 定理确定表示无理数的点 【例１】在如图１４．２Ｇ７所示的数轴上表 示 １３． 图１４．２Ｇ７ 审题关键:解 决 这 类 题 的 一 般 步 骤 如下: (１)“拆分”:利用勾股定理拆分出两 条线段,使它们的长的平方和等于 所画线段(斜边)长的平方; (２)“构造”:以数轴原点为直角三角 形中一个锐角的顶点,使以这个顶 点为端点的直角边在数轴上,构造 直角三角形; (３)“画弧”:以数轴原点为圆心,以 斜边长为半