12.5 因式分解-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（华东师大版)

１２．５　因式分解


● 了解因式分解的概念及它与多项式乘法的区别和 联系． ● 在探索中理解因式分解的过程,发现因式分解的 基本方法和一般规律,能灵活地选择合适的方法 进行因式分解． 　　 J 知识点一　因式分解的概念 (１)根据所学知识填空: ①(a＋b)c＝ac＋bc; ②(a＋b)(a－b)＝a２－b２; ③(a－b)２＝a２－２ab＋b２． (２)观察上面三个等式,填空: ①ac＋bc＝(a＋b)c; ②a２－b２＝(a＋b)(a－b); ③a２－２ab＋b２＝(a－b)２． 归纳:上述两题的过程相反,第１题是 整式乘法运算;第２题是把一个多项 式化为几个整式的积． 把一个多项式化为几个整式的积的形 式,叫做多项式的因式分解． '. 因式分解与整式的乘法的区别和联系 　　区别:(１)因式分解是把一个多项 式化成几个整式的积的形式,整式的 乘法 是 计 算 几 个 整 式 相 乘 的 结 果; (２)因式分解的结果必须满足两个条 件,一是各式为整式,二是结果为积的 形式;而整式的乘法没有这些限制． 　　联系:因式分解是恒等变形,它与 整式的乘法运算互为逆运算．因此,可以 用整式的乘法检验因式分解的正确性． 【例１】下列各式从左到右的变形属于因 式分解的是 (　　) A．n(x－y)＝nx－ny B．x２－３x＋４＝x(x－３)＋４ C．７ab(－２a２c)＝－１４a３bc D．a２－２a＝a(a－２) 解析:本题可以从形式上判断,因式分 ４５ 解的左边是一个多项式,右边是整式 的积的形式,只有 D选项符合要求． 答案:D 4 　　判断一个式子从左边到右边是否 为因式分解的方法:一看形式,左边是一 个多项式,右边是积的形式;二看范围, 左右两边都是整式;三看结果,左右两边 必须相等(可以用整式乘法检验)． 知识点二　公因式 多项式ma＋mb＋mc 包含三项,分别 是 ma、mb、mc,m 是 各 项 都 含 有 的 因式． 多项式中的每一项都含有一个相同的 因式,我们称该因式为公因式． 确定公因式的步骤: (１)对于系数,如果是整数系数,那么 取各项系数的最大公因数作为公因式 的系数;如果是分数系数,那么公因式 的系数为分数,而且分母取各项系数 中分母的最小公倍数,分子取各项系 数中分子的最大公因数． (２)对于字母,需考虑两点,一是取各 项相同的字母(或因式);二是各相同 字母 (或 因 式)的 指 数 取 其 指 数 最 小的． '. 　　公因式可以是一个单项式,也可 以是一个多项式． 【例２】找出下列多项式的公因式: (１)８a３b２－１２ab３c; (２)２a(b＋c)－３(b＋c); (３)６(x－２)＋２x(２－x)． 解:(１)公因式为４ab２． (２)公因式为(b＋c)． (３)原式可以化为６(x－２)－２x(x－ ２),其公因式为２(x－２)． 4 　　找公因式时,系数与相同的字母 (或因式)均不能漏掉． 知识点三　提公因式法 单项式相除,把系数、同底数幂分别相 除作为商的因式,对于只在被除式中 出现的字母,则连同它的指数一起作 为商的一个因式． 多项式除以单项式,先用这个多项式 的每一项除以这个单项式,再把所得 的商相加． ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)(逆用分 配律将公因式提出来)． 提公因式法:把公因式提出来,多项式 ma＋mb＋mc就可以分解成两个因式 m 和(a＋b＋c)的乘积了．像这种因式 分解的方法,叫做提公因式法． ５５ '. (１)提公因式法因式分解的依据是分 配律． m(a＋b＋c) 分配律 提公因式法 􀜡 􀜠􀜓􀜓􀜓􀜓 ma＋mb＋mc． (２)当多项式的第一项的系数为负数 时,一般先提取负号,提取负号后括号 里的各项都要改变符号． (３)原多项式有几项,提取公因式后括 号内的多项式就有几项． 【例３】把下列多项式分解因式: (１)６abc－３ac２; (２)a３c－a４b＋a３; (３)－４a３＋１６a２－２６a; (４)(x－y)２－(y－x)． 解:(１)６abc－３ac２ ＝３ac(２b－c)． (２)a３c－a４b＋a３ ＝a３(c－ab＋１)． (３)－４a３＋１６a２－２６a ＝－(４a３－１６a２＋２６a) ＝－２a(２a２－８a＋１３)． (４)(x－y)２－(y－x) ＝(x－y)２＋(x－y) ＝(x－y)(x－y＋１)． 4 (１)提公因式法分解因式的步骤: ①确定公因式; ②用公因式去除多项式的每一项,把 所得的商作为另一个因式; ③把多项式写成这两个因式的积的 形式． (２)当底数互为相反数时,先通过提取 负号化为相同的底数,再提取公因式． 知识点四　公式法 填空: (a＋b)(a－b)＝a２－b２． (a±