12.2 整式的乘法-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（华东师大版)

１２．２　整式的乘法


● 理解并掌握单项式与单项式相乘、单项式与多项 式相乘、多项式与多项式相乘的法则及推导过程． ● 能熟练运用单项式与单项式相乘、单项式与多项 式相乘、多项式与多项式相乘的法则进行计算,并 解决有关的化简求值问题． ● 能综合运用整式的有关运算法则进行整式乘法的 混合运算． 　　 J 知识点　单项式与单项式 相乘 有理数的乘法 (１)两数相乘,同号得正,异号得负,并把 绝对值相乘． (２)几个不等于０的因数相乘,积的符 号由负因数的个数决定．当负因数的 个数为偶数时,积为正;当负因数的个 数为奇数时,积为负． 幂的运算性质 (１)am􀅰an＝am＋n(m、n 为正整数); (２)(am)n＝amn(m、n 为正整数); (３)(ab)n＝anbn(n 为正整数)． 运算律:２x􀅰３x４,先利用乘法交换律 可化成２×３􀅰x􀅰x４,再利用乘法结合 律可化成(２×３)􀅰(x􀅰x４)． ３a􀅰２a２＝３􀅰a􀅰２􀅰a２ ＝(３×２)􀅰(a􀅰a２)(乘法的交换律和 结合律) ＝６a３． ２x２􀅰(－３xy２)＝２􀅰x２􀅰(－３)􀅰x􀅰y２ ＝[２×(－３)]􀅰(x２􀅰x)􀅰y２(乘法 的交换律和结合律) ＝－６x３y２．   > M 单项式与单项式相乘,只 要将它们的系数、相同字 母的幂分别相乘,对于只 在一个单项式中出现的字母,连同它 的指数一起作为积的一个因式． ０３ '. (１)系数相乘:积的系数等于各因式系 数的积． (２)相同字母的幂相乘:同底数幂相 乘,底数不变,指数相加． (３)单独字母:连同它的指数一起作为 积的一个因式． 单项式乘以单项式 【例１】计算:(１)(－５a２b)􀅰(－３a);　 (２)(２x)３􀅰(－５xy２); (３)(－４m２n)􀅰(－m２n２)􀅰(２n３)． 解:(１)(－５a２b)􀅰(－３a)＝[(－５)× (－３)]􀅰(a２􀅰a)􀅰b＝１５a３b． (２)(２x)３ 􀅰 (－５xy２)＝ (２３x３)􀅰 (－５xy２)＝[８×(－５)]􀅰(x３􀅰x)􀅰 y２＝－４０x４y２． (３)(－４m２n)􀅰(－m２n２)􀅰(２n３)＝ [(－４)×(－１)×２]􀅰(m２􀅰m２)􀅰(n􀅰 n２􀅰n３)＝８m４n６． 4 单项式乘以单项式的三点注意 (１)积的符号;(２)运算顺序;(３)三个 及三 个 以 上 的 单 项 式 相 乘,法 则 仍 适用． 单项式与单项式相乘的应用 【例２】卫星绕地球的运动速度(第一宇 宙速度)为７．９×１０３ 米/秒,求卫星绕 地球运行５×１０３ 秒后所经过的路程 (用科学记数法表示)． 解:７．９×１０３×５×１０３＝７．９×５×１０６＝ ３．９５×１０７(米)． 答:卫星绕地球运行５×１０３ 秒后所经 过的路程为３．９５×１０７ 米． 4 　　单项式与单项式相乘的应用的步 骤是先列算式,再按照单项式与单项 式相乘的法则计算． 知识点　单项式与多项 式相乘 a(b＋c)＝ab＋ac(乘法分配律)． ２a２􀅰(３a２－５b) ＝２a２􀅰３a２＋２a２ 􀅰(－５b)(乘法分 配律)　 ＝６a４－１０a２b(单项式与单项式相乘)． 单项式与多项式相乘,将单项式分别 乘以多项式的每一项,再将所得的积 相加． １３ '. (１)实质:单项式与多项式相乘,其实 质就是乘法分配律的应用． (２)注意:①在应用乘法分配律时,单 项式 分 别 与 多 项 式 的 每 一 项 相 乘; ②多项式中的每一项都包括其前面的 符号,是负号时尤其要注意． 单项式乘以多项式 【例３】计算:(１)３xy􀅰(５x３y－xy３); (２)(－０．５x２)􀅰(２x２－０．４x－０．３)． 解:(１)原式＝３xy􀅰５x３y－３xy􀅰xy３ ＝１５x４y２－３x２y４． (２)原式＝(－０．５x２)􀅰２x２＋(－０．５x２)􀅰 (－０．４x)＋(－０．５x２)􀅰(－０．３) ＝－x４＋０．２x３＋０．１５x２． 4 单项式乘以多项式的计算步骤 第１步:利用乘法分配律转化为单项 式乘以单项式; 第２步:按照单项式与单项式相乘的法 则计算． 单项式乘以多项式的综合运算 【例４】化 简:(a４ ＋４a２ ＋１６)􀅰a２ － ４(a４＋４a２＋１６)． 解:原式＝a４􀅰a２＋４a２􀅰a２＋１６a２－ ４a４－１６a２－６４＝a６－６４． 知识点　多项式与多项式相乘 　由 单 项 式 与 多 项 式 相 乘 的 法 则,知 (a＋b)c＝ac＋bc．　 方法１:如图１２．２Ｇ１所示,长方形的长 为(a＋b),宽为(m＋n)． 图１２．２Ｇ１ 则长方形的面积 ＝(a＋b)(