11.2 实数-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（华东师大版)

１１．２　实　数


● 了解无理数与实数的概念,能对实数进行分类． ● 探索 ２的大小,理解实数与数轴上的点的一一对 应关系． ● 知道实数的相反数、绝对值、运算法则、运算律等, 能对实数进行大小比较． ● 能进行实数的简单运算和近似运算． 　　 J 知识点一　无理数与实数 填空:(１)有理数包括整数和分数． (２)整数可以化为分母为１的分数． (３)将下列分数化为小数: ３＝ ３ １＝３．０ ;　 ３ ４＝０．７５ ; ２ ７＝０．２ 􀅰 ８５７１４ 􀅰 ＝０．２８５７１４２８５７１４􀆺． 归纳:任何一个有理数都可以化为一 个有限小数或无限循环小数． 用计算器计算 ２＝１．４１４２１３５６２􀆺． 归纳:２是一个无限不循环小数． 无理数:无限不循环小数叫做无理数, 如π、２等都是无理数． '. (１)无理数的特征:①是小数;②是无 限小数;③是不循环小数． (２)无理数常见的三种类型: ①绝大多数含π的数,如π、 π ２ 等; ②开 方 开 不 尽 的 数 的 方 根,如 ３、 ３ ３等; ③特定结构的数,如０．０１００１０００１􀆺 (相邻两个１之间依次多一个０)等．   > M 实数:有理数和无理数统 称实数． ９  实数的分类 按实数的概念分: 实数 有理数 正有理数 ０ 负有理数 ì î í ï ï ï ï 无理数 正无理数 负无理数 { ì î í ï ï ï ï 按正数、０、负数的关系分: 实数 正实数 正有理数 正无理数{ ０ 负实数 负有理数 负无理数{ ì î í ï ï ï ï 【例１】下列实数是无理数的是　　 (　　) A．－２ B． １ ３ C．４ D．５ 解析:选 项 A 中,－２ 是 整 数,是 有 理数; 选项B中, １ ３ 是分数,是有理数; 选项C中,４＝２,是整数,是有理数; 选项 D 中,５是开方开不尽的数,所以 ５是无理数． 故选 D． 答案:D 4 　　分数都是有理数．对于形如 a的 数,如果a 是开方开不尽的数,那么 a是无理数;如果a 是开得尽方的 数,那么 a不是无理数,如４,其开方 后得２,则 ４是有理数． 知识点二　实数与数轴的 关系 任何一个有理数都可以用数轴上的一 个点表示． 如图１１．２Ｇ１①所示的边长为１的等腰 直角三角形的面积是 １ ２ ,则由四个这 样的等腰直角三角形拼成的正方形 (如 图 １１．２Ｇ１②)的 面 积 为 ２,边 长 为 ２． ①　　　　②　　　　　③ 图１１．２Ｇ１ 在图１１．２Ｇ１③中以原点为圆心,以图 １１．２Ｇ１②中正方形的边长为半径作 弧,与数轴的正半轴的交点表示的数 是 ２． 数轴上的每一点必定表示一个实数; 反过来,每一个实数(有理数或无理 数)都可以用数轴上的一个点来表示． 换言之,实数与数轴上的点一一对应． ０１ '. 　　因为无理数也可以用数轴上的点 来表示,所以数轴上的点不都表示有 理数． 【例２】若我们把直径为１的圆从原点沿 数轴向右滚动一周(如图 １１．２Ｇ２ 所 示),圆上的一点O 到达O′,则点O′表 示的数是 ． 图１１．２Ｇ２ 解析:圆的直径为１,则圆的周长为π, 所以把圆从原点向右滚动一周即从原 点向右移动π个单位． 答案:π 4 　　本题考查了实数与数轴的关系, 是典型的数形结合的题目,通常涉及 正方形、长方形的对角线长,圆的周长 等方面的知识,解答本题需牢记圆的 周长公式C＝πd＝２πr(d 为圆的直 径,r为圆的半径)． 知识点三　实数的有关概念 　有理数的相反数、绝对值、倒数等概 念,对于实数也适用． 4 (１)相反数:实数a 的相反数为－a, 如 ５的相反数是－ ５． (２)绝对值:正实数的绝对值是它本 身,负实数的绝对值是它的相反数,０ 的绝对值是０． (３)倒数:任何非零实数a 都有一个 倒数 １ a ,如 ２的倒数是 １ ２ ． 【例３】按要求计算: (１)－ ３(相反数、绝对值、倒数); (２) ３ ２７ １０００ (相反数、绝对值、倒数); (３)２－ ７(相反数、绝对值)． 解:(１)－ ３的相反数是 ３,绝对值是 ３,倒数是－ １ ３ ． (２) ３ ２７ １０００＝ ３ １０ , 所以 ３ ２７ １０００ 的相反数是－ ３ １０ ,绝对值 是 ３ １０ ,倒数是１０ ３． (３)－(２－ ７)＝ ７－ ２,即 ２－ ７ 的相反数是 ７－ ２; |２－ ７|＝－(２－ ７)＝ ７－ ２,即 ２－ ７的绝对值是 ７－ ２． １１ 4 (１)a(a＞０)的倒数是 １ a (a＞０)． (２)a － b的相反数就是 －(a － b),去括号后化为 b－ a． 知识点四　实数的大小 比较与运算 在数轴上表示的两个数,右边的数总 比左边的数大． 正数大于