专题五 立方根（讲义）-2023年数学人教版七年级升八年级暑假培优专题训练

数学七年级下暑假培优专题训练 专题五、立方根 【专题导航】 目录 【考点一 立方根的定义】...............................................1 【考点二 已知一个数的立方根求这个数】.................................2 【考点三 立方根的应用】...............................................3 【考点四 平方根立方根的综合应用】.....................................4 【考点五 计算器---求平方根立方根】....................................6 【聚焦考点1】 立方根 如果x的立方等于a，那么就称x是a的立方根，或者三次方根.记做：，读作，3次根号a. 注意：这里的3表示的是开根的次数. 一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略. 平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根 【典例剖析1】 【考点一 立方根的定义】 【典例1-1】阅读下列材料，并完成问题解答： （一）小明阅读7年级数学第二学期课本44-46页关于平方根的定义：如果，那么x叫做a的平方根，记作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，请你根据以上定义解答下列问题： (1)解方程： (2)选择题：式子中的a的取值可以是（    ） A．1    B．    C．    D． （二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果，那么x叫做a的立方根．记作，其中a可以是任意实数，例如：，那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (3)解方程： 如果，那么x叫做a的4次方根，记作，其中，例如：如果．那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (4)填空题：若，则x的值是________． 【典例1-2】已知与互为相反数，则________． 【典例1-3】＝_____，＝_____． 针对训练1 【变式1-1】若与互为相反数，则__________． 【变式1-2】若，则__________；则_______． 【变式1-3】的立方根是______． 【聚焦考点2】 【考点二 已知一个数的立方根求这个数】 【典例2-1】已知a、b满足以下条件：①一个正数x的两个平方根分别是和；②． (1)求a，b，x； (2)求的平方根． 【典例2-2】一个正数y的两个平方根分别是与，求的立方根. 【典例2-3】已知的立方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 针对训练2 【变式2-1】已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式2-2】解方程： (1) (2) 【聚焦考点3】 【考点三 立方根的应用】 【典例3-1】将一块体积为 的正方体铝块改铸成8个同样大小的小正方体铝块，求每个小正方体铝块的表面积． 【典例3-2】阅读理解，观察下列式子： ① ； ② ； ③ ； ④； …… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ． (2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立． (3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若与的值互为相反数，且，求的值． 【典例3-3】某公司为了满足员工的用水需求，把原来容积为的长方体储水箱换成了比原来容积的倍大的正方体储水箱，求正方体储水箱内部的棱长． 针对训练3 【变式3-1】一个正方体的体积是16，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的表面积． 【变式3-2】我们知道魔方可以看作是一个正方体，如图，有一个体积为的魔方，则魔方的棱长为______． 【聚焦考点4】 【典例剖析4】 【考点四 平方根立方根的综合应用】 【典例4-1】已知 是的算术平方根，是的立方根，试求的值． 【典例4-2】爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【典例4-3】王老师在《给数学学习插上想象的翅膀》的数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象： 然后引导同学们解决以下两个问题∶ （1）求的平方根； 解：由知，求的平方根也就是求4