24.6 正多边形与圆-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（沪科版)

２４．６　正多边形与圆 知识点一　正多边形的概念 一个多边形是正多边形必须同时满足两个条件: (１)各边相等;(２)各角相等． 如图２４．６Ｇ１所示的五边形就是正五边形． 图２４．６Ｇ１ 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　注意:正三角形也是正多边形,但一个三角形只 要满足“各边相等”或“各角相等”就可以说明它 是正三角形． 【例１】下列说法正确的是 (　　) A．正三角形不是正多边形 B．平行四边形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 解析:正三角形是边数最少的正多边形,故 A错误;平行 四边形各边不一定相等,各角也不一定相等,即平行 四边形不一定是正多边形,故 B错误;正方形同时满 足各边相等、各角相等,是正多边形,故 C正确;各角 相等的多边形(除正三角形外),不一定是正多边形, 故 D错误． 答案:C 4 　　一个多边形(正三角形除外)必须同时满足各边 相等、各角相等,才能说明它是正多边形,两个条件缺 一不可． 　 'F 各边相等的多边形不一定 是正多边形,如菱形;各角 相等的多边形也不一定是 正多边形,如矩形．故“各边 相等”与“各角相等”二者缺 一不可．  (１)各边相等的圆内接多边 形为正多边形． (２)各角相等的圆外切多边 形为正多边形． １９ 　  (１)正三角形的作法:如图 ２４．６Ｇ２,以点 A 为圆心,以 OA 长为半径作弧,与☉O 相交于点C,D,则点B,C, D 是 ☉O 的 ３ 等 份 点,可 作正三角形． 图２４．６Ｇ２ (２)正十二边形的作法:十 二等分还可以在四等分圆周 的基础上完成,如图２４．６Ｇ３ 所示,分别以☉O 的４等份 点为圆心,以☉O 的半径为 半径,作 ８ 条 弧 与 ☉O 相 交,就 可 以 把 ☉O 十 二 等分． 图２４．６Ｇ３ 知识点二　正多边形与圆的关系 正多边形与圆的关系 正多边形与圆有非常密切的关系,把一个圆分成n 条 相等的弧,就可以作出这个圆的内接或外切正n 边形． 把圆分成n(n≥３)等份: (１)依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形． (２)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶 点的多边形是这个圆的外切正n 边形． 正多边形的作法 画正多边形一般与等分圆周有关,要作一个正n 边 形,只要把半径为R 的圆周n 等分,然后顺次连接各 分点即可． 依据 在同圆中,相等的弦所对的弧相等 关键 将圆分成n 等份 方 法 用量 角器 等分 圆周 在半径为R 的圆中, 先用量角器画一个等 于 ３６０° n 的圆心角,这 个角所对的弧就是圆 周的 １ n ,然后在圆上 依次截取这条弧的等 弧,就得到圆周的n 等份点,从而作出正 n 边形 ２９ 续表 方 法 用尺 规等 分圆 周 正四 边形、 正八 边形 在☉O 中,用直尺和圆 规作两条互相垂直的直 径,就可以把☉O 分成 ４等份,从而作出正四 边形．再逐次平分各边 所对的弧,就可以作出 正八边形 正六 边形、 正十 二边 形　 画 ☉O 的任意一条 直 径AB,分别以A,B 为 圆心,以☉O 的半径为 半径作弧,与☉O 相交 于点C,D,E,F,则A, C,E,B,F,D 是 ☉O 的６等份点,可作正六 边形．再逐次等分各边 所对的弧,就可以作出 正十二边形 【例２】如图２４．６Ｇ４,已知☉O 和☉O 上的一点A． (１)作 ☉O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形 AEFCGH; (２)在(１)题的作图中,如果点E 在AD ︵ 上,试求证 DE 是☉O 内接正十二边形的一边． 图２４．６Ｇ４　　　　　图２４．６Ｇ５ 解:(１)作法:①作直径AC; ②作直径BD⊥AC; ③依次连接A,B,C,D 四点,四边形ABCD 即为 ☉O 的内接正方形,如图２４．６Ｇ５; 　 'F 尺规作图是一种比较准确 的等分圆的方法,但有较大 的局限性,它不能将圆任意 等分;用量角器可以将圆任 意等分,但由于受测量的精 确 度 限 制,作 图 时 会 有 误差． ３９ 　 % 正多边形的边与 所对圆心角的关系 　　在圆内接正多边形中, 正n 边形每条边所对的圆 心角 为 ３６０° n ,反 之,３６０° n 的 圆心角所对的弦为圆内接 正n 边形的一边． % 边心距