课时分层作业66 概率、统计的综合问题(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(六十六)　概率、统计的综合问题 1．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图． (1)月市场占有率y与月份代码x符合线性回归模型拟合的关系，求y关于x的经验回归方程，并预测M公司2024年1月份(即x＝20时)的市场占有率； (2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1 000元/辆和1 200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下： 报废年限 1年 2年 3年 4年 A型车(辆) 20 35 35 10 B型车(辆) 10 30 40 20 经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以每辆单车使用寿命的频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？ 参考公式及数据：经验回归方程为＝x＋，其中＝，＝－，iyi＝371，＝91. [解]　(1)由折线图所给的数据，可得 ＝＝3.5， ＝＝16， (xi－)(yi－)＝－2.5×(－5)＋(－1.5)×(－3)＋(－0.5)×0＋0.5×(－1)＋1.5×4＋2.5×5＝35. (xi－)2＝(－2.5)2＋(－1.5)2＋(－0.5)2＋0.52＋1.52＋2.52＝17.5， 所以＝＝2， 可得＝16－2×3.5＝9. 所以月市场占有率y与月份代码x之间的经验回归方程为＝2x＋9， 当x＝20时，可得＝2×20＋9＝49. 故M公司2024年1月份(即x＝20时)的市场占有率预计为49%. (2)由频率估计概率，可得每辆A款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2，0.35，0.35和0.1， 所以每辆A款车可产生的利润期望值 E(ξ1)＝×0.2＋×0.35＋×0.35＋(2 000－1 000)×0.1＝175(元). 由频率估计概率，可得每辆B款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2， 所以每辆B款车可产生的利润期望值 E(ξ2)＝×0.1＋×0.3＋×0.4＋(2 000－1 200)×0.2＝150(元). 因为E(ξ1)>E(ξ1)，所以应该采购A款单车． 2．2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象．主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖．已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者(以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者)的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下： 心理价位(元/件) 90 100 110 120 人数 10 20 50 20 假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品．公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品．设这款纪念品的销售价格为x(单位：元/件)，90<x≤120，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立．用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率． (1)若x＝100，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望E； (2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y(单位：元)，当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望E达到最大值？ [解]　(1)x＝100时，消费者购买该纪念品的概率P＝＝0.9， 由题意X～B(4，0.9)，P(X＝i)＝C0.9i(1－0.9)4－i，i＝0，1，2，3，4， P(X＝0)＝0.14＝，同理P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝， X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P E(X)＝4×0.9＝3.6. (2)由(1)知90<x≤100时，E(Y)＝M××(x－80)≤18M(x＝100时等号成立)， 100<x≤110时，E(Y)＝M××(x－80)≤21M(x＝110时等号成立)， 110<x≤120时，E(Y)＝M××(x－80)≤8M(x＝120时等号成立)， M>0，因此E(Y)＝21M最大，此时x＝110. 所以当该纪念品的销售价格定为110元时，Y的数学期望E达到最大值21M. 3