课时分层作业36 数列求和(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(三十六)　数列求和 1．(2023·广东广州铁一中学模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，已知是首项为3，公差为1的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n≥2时，＋＋…＋＜－. [解]　(1)∵是首项为3，公差为1的等差数列， ∴＝3＋(n－1)， ∴Sn＝n2＋2n＋1＝(n＋1)2. ∴当n≥2时，Sn－1＝n2， an＝Sn－Sn－1＝2n＋1. 又S1＝a1＝4不满足an＝2n＋1， ∴{an}的通项公式an＝ (2)当n≥2时，＝＜＝－， －＝－＝－， ∴＋＋…＋＜－＋－＋…＋－＝－＝－， ∴＋＋…＋＜－. 2．(2022·辽宁鞍山二模)在①Sn＝2n－3n－1；②an＋1＝2an＋3，a1＝－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 设数列{an}的前n项和为Sn，且________(只需填入序号). (1)求数列的通项公式； (2)若bn＝n·，求数列的前n项和Tn. [解]　(1)若选①：由Sn＝2n－3n－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3n－1－[2n－1－3(n－1)－1]＝2n－1－3， 当n＝1时，a1＝S1＝－2满足上式， 所以数列的通项公式为an＝2n－1－3. 若选②：由an＋1＝2an＋3，可得an＋1＋3＝2(an＋3)， 又由a1＝－2，可得a1＋3＝1， 所以数列{an＋3}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＋3＝2n－1， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1－3. (2)由(1)得bn＝n·(an＋3)＝n·2n－1， 可得Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1， 则2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， 两式相减，可得 －Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)2n－1，所以Tn＝(n－1)2n＋1. 3．(2022·山东济宁二模)已知数列满足a1＝2，an＋1＝ (1)设bn＝a2n，证明：数列为等差数列； (2)求数列的前2n项和． [解]　(1)证明：由题意，b1＝a2＝a1＋＝2＋2＝4， 当n≥2时，bn＝a2n＝a2n－1＋＝2a2n－2＋2n＝2bn－1＋2n， 所以－＝1，则是以1为公差，＝2为首项的等差数列． (2)由题设，S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝＋＋…＋[a2n－()2n]＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝2－＝2－＝2Tn＋2－2n＋1， 由(1)知：＝2＋＝n＋1，则bn＝·2n. 其中Tn＝b1＋b2＋…＋bn， 即Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋·2n， 所以2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n·2n＋·2n＋1， 两式相减得－Tn＝4＋－·2n＋1＝4＋－·2n＋1＝－n·2n＋1， 所以Tn＝n·2n＋1， 综上，S2n＝2Tn＋2－2n＋1＝2n·2n＋1＋2－2n＋1＝2n＋1＋2. 4．(2022·湖南邵阳一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且Sn＋1＝2＋2Sn，是公差不为0的等差数列，且b1，b2，b4成等比数列，a2，b10，a4成等差数列． (1)求数列，的通项公式； (2)若cn＝ ，求的前2n项和T2n. [解]　(1)因为当n≥2时， 两式相减可得an＋1＝2an. 由S1＝a1＝2，代入Sn＋1＝2＋2Sn可得S2＝6，a2＝4， 满足a2＝2a1，所以an＋1＝2an，n∈N*， 所以an＝2n. 不妨设等差数列的公差为d， 由条件可得b＝b1b4，2b10＝a2＋a4， 即 解得b1＝1，d＝1， 所以bn＝1＋×1＝n. (2)由(1)可知cn＝ ·＝ ·， 所以T2n＝c1＋c2＋c3＋…＋c2n ＝－＋＋…－ ＝1－＝. 2 学科网（北京）股份有限公司 $