课时分层作业34 等差数列(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(三十四)　等差数列 一、选择题 1．(2023·湖北黄冈中学模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＝5，a7＝20，则S8＝(　　) A．90　 　 B．100　 C．120　 　 D．200 B　[S8＝＝4(a1＋a8)＝4(a2＋a7)＝4×25＝100. 故选B.] 2．(2023·广东佛山模拟)在等差数列{an}中，a3＝7，S5＝7a2，则a6＝(　　) A．11 B．13 C．14 D．16 B　[a3＝a1＋2d＝7，5a1＋10d＝7，联立方程可解得a1＝3，d＝2，所以a6＝3＋5×2＝13.故选B.] 3．已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　) A．28 B．29 C．30 D．31 B　[设等差数列{an}共有2n＋1项， 则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n， 该数列的中间项为an＋1， 又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1， 所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.] 4．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为(　　) A． B． C． D． C　[由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8， ∴＋＝＝＝＝＝＝.故选C.] 5．(多选)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有(　　) A．a7 B．a8 C．S15 D．S16 BC　[由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值， S15＝＝15a8为定值，但S16＝＝8不是定值．] 6．(多选)(2023·重庆模拟)朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升．”则下列结论正确的有(　　) A．将这1 864人派遣完需要16天 B．第十天派往筑堤的人数为134 C．官府前6天共发放1 467升大米 D．官府前6天比后6天少发放1 260升大米 ACD　[记数列{an}为第n天派遣的人数，数列{bn}为第n天获得的大米升数，则{an}是以64为首项，7为公差的等差数列，即an＝7n＋57，{bn}是以192为首项，21为公差的等差数列，即bn＝21n＋171，所以a10＝64＋7×9＝127，B错误； 设第k天派遣完这1 864人，则64k＋＝1 864，解得k＝16(负值舍去)，A正确；官府前6天共发放192×6＋×21＝1 467(升)大米，C正确；官府前6天比后6天少发放21×10×6＝1 260(升)大米，D正确．故选ACD.] 二、填空题 7．写出一个“公差为2且前3项之和小于第3项”的等差数列的一个通项公式an＝________． 2n－6(答案不唯一)　[要满足“前3项之和小于第3项”，则a1＋a2＋a3<a3，即a1＋a2<0， 则不妨设a1＝－4，a2＝－2， 则an＝－4＋(n－1)×2＝2n－6.] 8．(2023·广东中山期末)在数列{an}中，a1＝2，＝＋，则数列{an}的通项公式为________． an＝2n2　[由＝＋得－＝， 而＝，于是得数列是以为首项，为公差的等差数列，则有＝＋(n－1)d＝＋(n－1)＝n， 所以数列的通项公式为an＝2n2.] 9．(2020·新高考Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 3n2－2n　[由题意可知{2n－1}的项是连续的奇数，所以{2n－1}与{3n－2}的公共项即为{3n－2}中的所有奇数项， 所以当n为奇数时{3n－2}的项为{an}， 将k＝2n－1代入{3k－2}得{6n－5}， 故an＝6n－5，n∈N*， 故Sn＝×n＝3n2－2n.] 三、解答题 10．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． [解]　(1)证明：因为＋n＝2an＋1， 即2Sn＋n2＝2nan＋n①， 当n≥2时，2Sn－1＋＝2an－1＋②， ①－②得，2Sn＋n2－2Sn