课时分层作业20 利用导数解决函数的零点问题(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(二十)　利用导数解决函数的零点问题 1．函数f (x)＝ex－2ax－a. (1)讨论函数的极值； (2)当a>0时，求函数f (x)的零点个数． [解]　(1)由题意得f ′ (x)＝ex－2a. 当2a≤0，即a≤0时，f ′ (x)>0恒成立， ∴f (x)在R上单调递增，无极值． 当2a>0，即a>0时， 令f ′ (x)＝0，解得x＝ln (2a)， ∴当x∈时，f ′ (x)<0； 当x∈时，f ′ (x)>0. ∴f (x)在上单调递减，在(ln (2a)，＋∞)上单调递增， ∴f (x)的极小值为f ＝a－2a ln (2a)，无极大值． 综上所述：当a≤0时，f (x)无极值； 当a>0时，f (x)的极小值为a－2a ln (2a)，无极大值． (2)由(1)知：当a>0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增； 当0<a<时，f ＝a－2a ln (2a)>0， ∴f (x)>0恒成立，f (x)无零点； 当a＝时，f ＝a－2a ln (2a)＝0，f (x)有唯一零点x＝ln (2a)； 当a>时，f ＝a－2a ln (2a)<0， 又当x趋近于负无穷大时，f (x)趋近于正无穷大，当x趋近于正无穷大时，f (x)也趋近于正无穷大， ∴f (x)在和上各存在一个零点，即f (x)有两个零点． 综上所述：当0<a<时，f (x)无零点； 当a＝时，f (x)有且仅有一个零点； 当a>时，f (x)有两个不同的零点． 2．(2021·全国甲卷)已知a＞0且a≠1，函数f (x)＝(x＞0). (1)当a＝2时，求f (x)的单调区间； (2)若曲线y＝f (x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． [解]　(1)当a＝2时，f (x)＝(x＞0)， f ′(x)＝(x＞0)， 令f ′(x)＞0，则0＜x＜，此时函数f (x)单调递增， 令f ′(x)＜0，则x＞，此时函数f (x)单调递减， 所以函数f (x)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)曲线y＝f (x)与直线y＝1有且仅有两个交点， 可转化为方程＝1(x>0)有两个不同的解，即方程＝有两个不同的解． 设g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝(x＞0)， 令g′(x)＝＝0，得x＝e， 当0<x<e时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增， 当x＞e时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减， 故g(x)max＝g(e)＝， 且当x>e时，g(x)∈， 又g(1)＝0，所以0＜＜，所以a＞1且a≠e， 即a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞). 3．(2023·山东潍坊模拟)已知函数f (x)＝ex＋sin x－cos x，f ′(x)为f (x)的导数． (1)证明：当x≥0时，f ′(x)≥2； (2)设g (x)＝f (x)－2x－1，证明：g(x)有且仅有2个零点． [证明]　(1)由f ′ (x)＝ex＋cos x＋sin x，设h (x)＝ex＋cos x＋sin x，则h′ (x)＝ex－sin x＋cos x， 当x≥0时，设p (x)＝ex－x－1，q (x)＝x－sin x， ∵p′ (x)＝ex－1≥0，q′ (x)＝1－cos x≥0， ∴p (x)和q (x)在上单调递增， ∴p (x)≥p (0)＝0，q (x)≥q (0)＝0， ∴当x≥0时，ex≥x＋1，x≥sin x， 则h′ (x)＝ex－sin x＋cos x≥x＋1－sin x＋cos x ＝＋＞0， ∴函数h (x)＝ex＋cos x＋sin x在上单调递增， ∴h (x)≥h (0)＝2，即当x≥0时，f ′(x)≥2. (2)由已知得g (x)＝ex＋sin x－cos x－2x－1. ①当x≥0时， ∵g′ (x)＝ex＋cos x＋sin x－2＝f ′ (x)－2≥0， ∴g (x)在上单调递增， 又∵g (0)＝－1<0，g ＝eπ－2π>0， ∴由零点存在定理可知g (x)在上仅有一个零点． ②当x<0时， 设m (x)＝，则m′ (x)＝≤0， ∴m (x)在上单调递减， ∴m (x)>m (0)＝1，∴ex＋cos x＋sin x－2<0， ∴g′ (x)＝ex＋cos x＋sin x－2<0， ∴g (x)在上单调递减， 又∵g (0)＝－1<0，g ＝e－π＋2π>0， ∴由零点存在定理可知g (x)在上仅有一个零点，综上所述，g(x)有且仅有2个零点． 4．(2023·山东师范大学附中模拟)已知函数h (x)＝x－a ln x. (1)若h (x)有两个零点，求a的取值范围； (2)若方程xex－a＝0有两个实根x1，x2，且x1≠x2，证明：ex1＋x2>. [解]　(1)函数h (x)的定义域