课时分层作业19 利用导数解决恒(能)成立问题(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(十九)　利用导数解决恒(能)成立问题 1．(2023·广东梅州模拟)已知函数f (x)＝x ln x－mx＋m，其中m∈R. (1)求f (x)的单调区间； (2)请在下列两问中选择一问作答． ①若对任意x∈，不等式f (x)>－x恒成立，求m的最小整数值； ②若存在x∈，使得不等式f (x)<－ln x成立，求m的取值范围． [解]　(1)f (x)的定义域为，f ′ (x)＝ln x＋，令f ′ (x)＝0，得x＝em－1， 由f ′ (x)<0，解得0<x<em－1，由f ′ (x)>0，解得x>em－1， 所以f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)选择①： 当0<x<1时，f (x)>－x恒成立，即m>恒成立，令g (x)＝，x∈，则g′ (x)＝， 令h (x)＝x－ln x－2，x∈，则h′ (x)＝<0，即函数h (x)单调递减， 而h (1)＝－1<0，h＝>0，则h (x)在区间上存在一个零点x0， 使得h ＝x0－ln x0－2＝0，即ln x0＝x0－2， 当0<x<x0时，h (x)>0，则g′ (x)>0，函数g (x)单调递增，当x0<x<1时，h (x)<0，即g′ (x)<0，函数g (x)单调递减，于是得g (x)有最大值，g(x)max＝g ＝＝＝x0， 依题意有m>x0，又x0∈， 所以m的最小整数值是1. 选择②： 不等式f (x)<－ln x，即ln x－<0， 设h (x)＝ln x－，x∈， 依题意，存在x∈，h (x)<0， 而h′ (x)＝－ ＝，h (1)＝0， 当m≤0时，h (x)>0在上恒成立，不满足题意； 当0<m≤2时，方程x2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4＝4m≤0， 即h′ (x)>0在上恒成立，则h (x)在上单调递增，h (x)>h (1)＝0，h (x)>0在上恒成立，不满足题意； 当m>2时，令h′ (x)＝0，得 x1＝m－1－， x2＝m－1＋， 由x2>1和x1x2＝1得x1<1，则当x∈时，h′ (x)<0， h (x)在上单调递减，此时h (x)<h (1)＝0， 因此，当m∈时，存在x∈，使得不等式h (x)<0成立，所以满足题意的m的取值范围为. 2．已知函数f (x)＝x－1－a ln x(a<0). (1)讨论函数f (x)的单调性； (2)若对于任意的x1，x2∈(0，1]，且x1≠x2，都有|f (x1)－f (x2)|<4，求实数a的取值范围． [解]　(1)由题意知f ′(x)＝1－＝(x>0)， 因为x>0，a<0，所以f ′(x)>0， 所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增． (2)不妨设0<x1<x2≤1，则>>0， 由(1)知f (x1)<f (x2)， 所以|f (x1)－f (x2)|<4⇔f (x2)－f (x1)<4⇔f (x1)＋>f (x2)＋. 设g(x)＝f (x)＋，x∈(0，1]， |f (x1)－f (x2)|<4等价于g(x)在(0，1]上单调递减， 所以g′(x)≤0在(0，1]上恒成立⇔1－－＝≤0在(0，1]上恒成立⇔a≥x－在(0，1]上恒成立，易知y＝x－在(0，1]上单调递增，其最大值为－3.因为a<0，所以－3≤a<0，所以实数a的取值范围为[－3，0). 3．(2022·广东惠州一模)已知函数f (x)＝ex＋m sin x－x2－1(m∈R). (1)当m＝0时，讨论f (x)的单调性； (2)若不等式x·f (x)≥0对∀x∈恒成立，求m的取值范围． [解]　(1)当m＝0时，f (x)＝ex－x2－1， 则f ′ (x)＝ex－x. 令g (x)＝f ′ (x)，则g′ (x)＝ex－1. 因为x<0时，g′ (x)<0；x>0时，g′ (x)>0， 所以函数g (x)在区间上单调递减，在上单调递增，所以f ′ (x)＝g (x)≥g (0)＝1>0， 所以函数f (x)在R上单调递增． (2)因为xf (x)≥0对∀x∈恒成立， 且f (0)＝e0－1＝0. 所以当x∈时，有f (x)≥0； 当x∈时，有f (x)≤0. 由(1)知ex－x≥1， 所以f ′ (x)＝ex＋m cos x－x≥1＋m cos x. 由x∈，得cos x∈. ①当m≥－1时，f ′ (x)≥1＋m cos x≥1－cos x≥0， 所以函数f (x)在上单调递增， 所以当x∈时，f (x)≥f (0)＝0； 当x∈时，f (x)≤f (0)＝0. 所以当m≥－1时，xf (x)≥0对∀x∈恒成立． ②当m<－1时，令h (x)＝f ′ (x)，则h′ (x)＝ex－m sin x－1. 令m (x)＝h′ (x)，则m′ (x)＝ex－m cos x. 因为