课时分层作业18 利用导数证明不等式(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(十八)　利用导数证明不等式 1．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点． (1)求a； (2)设函数g(x)＝，证明：g(x)＜1. [解]　(1)由题意得y＝xf(x)＝xln(a－x)， 则y′＝ln(a－x)＋x[ln(a－x)]′. 因为x＝0是函数y＝xf(x)的极值点， 所以y′|x＝0＝ln a＝0，所以a＝1. (2)证明：由(1)可知，f(x)＝ln(1－x)，其定义域为{x|x＜1}， 当0＜x＜1时，ln(1－x)＜0，此时xf(x)＜0. 当x＜0时，ln(1－x)＞0，此时xf(x)＜0， 易知g(x)的定义域为{x|x＜1且x≠0}， 故要证g(x)＝＜1，只需证x＋f(x)＞xf(x)，即证x＋ln(1－x)－xln(1－x)＞0， 令1－x＝t，则t＞0且t≠1， 则只需证1－t＋ln t－(1－t)ln t＞0， 即证1－t＋tln t＞0. 令h(t)＝1－t＋tln t，则h′(t)＝－1＋ln t＋1＝ln t， 所以h(t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(t)＞h(1)＝0， 即g(x)＜1成立． 2．已知函数f(x)＝ax2＋xln x(a∈R)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x＋3y＝0垂直． (1)求实数a的值； (2)求证：当n>m>0时，ln n－ln m>－. [解]　(1)因为f(x)＝ax2＋xln x，所以f′(x)＝2ax＋ln x＋1，因为切线与直线x＋3y＝0垂直，所以切线的斜率为3，所以f′(1)＝3，即2a＋1＝3，故a＝1. (2)证明：要证ln n－ln m>－， 即证ln＞－，只需证ln－＋＞0.令＝x，由已知n＞m＞0，得＞1，即x＞1，构造函数g(x)＝ln x－＋x(x＞1)，则g′(x)＝＋＋1.因为x∈(1，＋∞)，所以g′(x)＝＋＋1＞0，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以g＞g(1)＝0，即ln－＋>0成立，所以当n>m>0时，ln n－ln m>－. 3．(2022·河北沧州二模)已知函数f＝，a∈R. (1)求f的单调区间； (2)证明：xf＋e－x>－a. [解]　 (1)函数f＝＝ln x－， 定义域为，f′＝＋＝. (i)当a≥0时，f′>0，f单调递增； (ii)当a<0时，－a>0，x∈时，f′<0，f单调递减； x∈时，f′>0，f单调递增， 综上，当a≥0时，f的单调递增区间为，无单调递减区间； 当a<0时，f的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)证明：由(1)知，当a＝－1时，f＝ln x＋， 且f≥f＝1，所以xln x＋1≥x， 因为f＝， 所以不等式xf＋e－x>－a等价于xln x＋e－x>0， 令g＝x＋e－x－1， 则g′＝1－e－x＝>0在x>0时恒成立， 所以当x>0时，g>g＝0， 又xln x＋1≥x，所以xln x＋e－x≥x－1＋e－x>0， 故xln x＋e－x>0，即xf＋e－x>－a. 4．已知函数f＝ln x－mx＋m，m∈R. (1)求f的单调区间； (2)若x∈，证明：1<<x； (3)对于任意正整数n，…<t，求t的最小正整数值． [解]　(1)由f′＝－m＝， 若m≤0，则当x∈时，f′>0，函数f单调递增； 若m>0，则当x∈时，f′>0，函数f单调递增， 当x∈时，f′<0，函数f单调递减， 所以当m≤0时，函数f的单调递增区间为，无单调递减区间； 当m>0时，函数f的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)证明：由(1)知，当m＝1时，f在x＝1处取得最大值，最大值为f＝0， 所以当x≠1时，ln x<x－1， 故当x∈时，ln x<x－1，所以1<. 又ln <－1，即<x，故1<<x. (3)当m＝1时，f＝ln x－x＋1≤0，即ln x≤x－1，则有ln≤x，当且仅当x＝0时等号成立， 所以ln＜，k∈N*. 一方面： ln＋ln＋…＋ln＜＋＋…＋＝1－＜1，即…＜e. 另一方面： 当n≥3时，…≥＝＞2， 当n≥3时，…∈(2，e)． 因为t∈N*，…＜t， 所以t的最小正整数值为3. 2 学科网（北京）股份有限公司 $