课时分层作业17 函数的极值与最大(小)值(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(十七)　函数的极值与最大(小)值 一、选择题 1．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f (x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f ′(2)＝(　　) A．－1　 B．－　　 C．　 D．1 B　[因为函数f (x)定义域为，所以依题可知，f (1)＝－2，f ′ (1)＝0，而f ′ (x)＝－，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f ′ (x)＝－＋，因此函数f (x)在上单调递增，在上单调递减，当x＝1时取最大值，满足题意，即有f ′ ＝－1＋＝－. 故选B.] 2．(2022·全国乙卷)函数f (x)＝cos x＋sin x＋1在区间的最小值、最大值分别为(　　) A．－， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 D　[f ′ (x)＝－sin x＋sin x＋cos x＝cos x， 所以f (x)在区间和上f ′ (x)>0，即f (x)单调递增； 在区间上f ′ (x)<0，即f (x)单调递减． 又f (0)＝f ＝2，f ＝＋2，f ＝－， 所以f (x)在区间上的最小值为－，最大值为＋2. 故选D.] 3．已知函数f (x)＝x3－ax2＋x在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． C　[函数f (x)＝x3－ax2＋x，导函数f ′ (x)＝x2－ax＋1.因为f (x)在上既有极大值又有极小值，所以f ′ (x)＝0在内应有两个不同的实数根． 解得2<a<， 实数a的取值范围为. 故选C.] 4．函数f (x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)在区间[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，则a，b的值为(　　) A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2 C．a＝2，b＝3 D．以上都不对 C　[函数f (x)的导数f ′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 因为a>0，所以由f ′(x)<0，得0<x<4，此时函数单调递减， 由f ′(x)>0，得x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减， 即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值， 则f (0)＝b＝3，则f (x)＝ax3－6ax2＋3， f (－1)＝－7a＋3，f (2)＝－16a＋3， 则f (－1)>f (2)，即函数的最小值为f (2)＝－16a＋3＝－29， 计算得出a＝2，b＝3.] 5．(多选)已知函数f (x)＝x3－4x＋2，下列说法中正确的有(　　) A．函数f (x)的极大值为，极小值为－ B．当x∈[3，4]时，f (x)的最大值为，最小值为－ C．函数f (x)的单调递减区间为[－2，2] D．曲线y＝f (x)在点(0，2)处的切线方程为y＝－4x＋2 ACD　[f (x)的定义域为R，f ′(x)＝x2－4，令f ′(x)＝0，得x＝－2或2，所以f (x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，故C正确．f (x)极大值＝f (－2)＝×(－2)3－4×(－2)＋2＝，f (x)极小值＝f (2)＝－8＋2＝－，故A正确．因为f (3)＝－1，f (4)＝，所以当x∈[3，4]时，f (x)的最大值为，最小值为－1，故B不正确．因为f ′(0)＝－4，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y－2＝－4(x－0)，即y＝－4x＋2，故D正确．] 6．(多选)对于函数f (x)＝，下列说法正确的有(　　) A．f (x)在x＝e处取得极大值 B．f (x)有两个不同的零点 C．f (2)＜f (π)＜f (3) D．若f (x)＜k－在(0，＋∞)上恒成立，则k＞1 ACD　[f ′(x)＝，x＞0.令f ′(x)＝0，得x＝e，当0＜x＜e时，f ′(x)＞0，函数f (x)为增函数；当x＞e时，f ′(x)＜0，函数f (x)为减函数，则当x＝e时，函数取得极大值，且极大值为f (e)＝，故A正确；由f (x)＝0，得ln x＝0，得x＝1，即函数f (x)只有一个零点，故B错误；因为f (4)＝＝＝f (2)，所以f (3)＞f (π)＞f (4)，即f (2)＜f (π)＜f (3)成立，故C正确；若f (x)＜k－在(0，＋∞)上恒成立，则k＞＋.设h(x)＝＋，x＞0，则h′(x)＝－，当0＜x＜1时，h′(x)＞0；当x＞1时，h′(x)＜0，故当x＝1时，函数h(x)取得极大值也是最大值h(1)＝1，所以k＞1.故D正确．] 二、填空题 7．已知f (x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________． 11　[f ′(x)＝3x2＋6ax＋b， 由题意得 解得或 当a＝1，b＝3时，f