课时分层作业16 导数与函数的单调性(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(十六)　导数与函数的单调性 一、选择题 1．函数f (x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　) A．(0，1)　　　　 B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1，1) A　[因为f ′(x)＝2x－＝(x>0)， 令f ′(x)<0得0<x<1， 所以函数f (x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(0，1).] 2．已知函数y＝xf ′(x)的图象如图所示(其中f ′(x)是函数f (x)的导函数).下面四个图象中y＝f (x)的图象大致是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D C　[列表如下： x (－∞，－1) (－1，0) (0，1) (1，＋∞) xf ′(x) － ＋ － ＋ f ′(x) ＋ － － ＋ f (x) 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 故函数f (x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1).故函数f (x)的图象是C选项中的图象．] 3．设函数f (x)的定义域为R，f ′(x)是其导函数，若f (x)＋f ′(x)＜0，f (0)＝1，则不等式f (x)＞e－x的解集是(　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(0，1) C　[令g(x)＝exf (x)，则g′(x)＝exf (x)＋exf ′(x)，因为f (x)＋f ′(x)＜0，所以g′(x)＜0，所以g(x)在R上单调递减．因为g(0)＝e0f (0)＝f (0)＝1，所以不等式f (x)＞e－x可转化为exf (x)＞1，即g(x)＞1＝g(0)，又g(x)在R上单调递减，所以x＜0，故不等式f (x)＞e－x的解集为(－∞，0).故选C.] 4．(多选)若函数f (x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是(　　) A．－3　 B．－1　　 C．0　 D．2 BD　[依题意知，f ′(x)＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点，故 解得a>－3且a≠0.故选BD.] 5．若函数f (x)＝x－sin 2x＋a sin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[－1，1] B． C． D． C　[∵f (x)＝x－sin 2x＋a sin x，∴f ′(x)＝1－cos 2x＋a cos x＝－cos2x＋a cosx＋. 由f (x)在R上单调递增，则f ′(x)≥0在R上恒成立． 令t＝cos x，t∈[－1，1]， 则－t2＋at＋≥0在t∈[－1，1]上恒成立． ∴4t2－3at－5≤0在t∈[－1，1]上恒成立． 令g(t)＝4t2－3at－5， 则解得－≤a≤.] 6．(多选)(2023·湖南师大附中模拟)下列两数的大小关系中错误的是(　　) A．π3>3π B．> C．2ln 3<3ln 2 D．tan 1<1 ACD　[对于A，设f (x)＝，则f ′ (x)＝，则当x>e时，f ′ (x)<0，∴f (x)在上单调递减，∴f >f ，即>，即πln 3>3ln π，∴ln 3π>ln π3，则3π>π3，A错误；对于B，∵＝34＝81，＝43＝64，∴>，则>，B正确；对于C， ∵2ln 3＝ln 32＝ln 9，3ln 2＝ln 23＝ln 8，ln 9>ln 8，∴2ln 3>3ln 2，C错误；对于D，tan 1>tan ＝1，D错误．故选ACD.] 二、填空题 7．(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x)：________． ①f (x1x2)＝f (x1)f (x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＞0；③f ′(x)是奇函数． f (x)＝x2(答案不唯一)　[本题属于开放性问题，答案不唯一，例如取f (x)＝x2，x4，x6…都可以，还可以取f (x)＝x，x，x，x….] 8．已知函数f (x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f (2x－3)>1的解集为________． 　[f (x)＝ex－e－x－2x＋1，定义域为R， f ′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0， 当且仅当x＝0时取“＝”， ∴f (x)在R上单调递增， 又f (0)＝1， ∴原不等式可化为f (2x－3)>f (0)， 即2x－3>0，解得x>， ∴原不等式的解集为.] 9．若函数f (x)＝ln x－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________． (－1，＋∞)　[f ′(x)＝－ax－2＝，由题意知f ′(x)＜0有实数解， ∵x＞0， ∴ax2＋2x－1＞0有实数解． 当a≥0时，显然满足； 当a＜0时，只需Δ＝4＋4a＞0， ∴－1＜a＜0.