课时分层作业15 导数的概念及运算(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(十五)　导数的概念及运算 一、选择题 1．曲线y＝在点(3，2)处的切线的斜率是(　　) A．2　 B．－2　　 C．　 D．－ D　[y′＝ ＝－， 故曲线在点(3，2)处的切线的斜率 k＝y′|x＝3＝－＝－.] 2．吹气球时，气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的关系是V＝πr3.当V＝ L时，气球的瞬时膨胀率为(　　) A． dm/L B． dm/L C．3 L/dm D．4 π L/dm A　[因为V＝πr3，所以r＝，所以r′＝×V－， 所以当V＝时，r′＝×－＝×＝×＝dm/L.故选A.] 3．已知f 1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f 2(x)＝f 1′(x)，f 3(x)＝f 2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f 2 023(x)等于(　　) A．－sin x－cos x B．sin x－cos x C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x A　[∵f 1(x)＝sin x＋cos x， ∴f 2(x)＝f 1′(x)＝cos x－sin x， f 3(x)＝f 2′(x)＝－sin x－cos x， f 4(x)＝f 3′(x)＝－cos x＋sin x， f 5(x)＝f 4′(x)＝sin x＋cos x， ∴f n(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 023＝4×505＋3，∴f 2 023(x)＝f 3(x)＝－sin x－cos x．故选A.] 4．若函数y＝f (x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f (x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　) A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 A　[对函数y＝sin x求导，得y′＝cos x，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，所以k1·k2＝－1，所以l1⊥l2；对函数y＝ln x求导，得y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3求导，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A.] 5．(多选)已知曲线f (x)＝x3－x2＋ax－1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于0，则实数a可能的取值为(　　) A． B．3 C． D． AC　[f ′(x)＝2x2－2x＋a. 因为曲线y＝f (x)上存在两条斜率为3的不同切线， 所以f ′(x)＝3有两个不同的根，即2x2－2x＋a－3＝0有两个不同的根． 所以Δ＝(－2)2－4×2×(a－3)>0. ① 设两切点的横坐标分别为x1，x2. 因为切点的横坐标都大于0， 所以x1>0，x2>0， 所以 ② 联立①②，解得3<a<. 故选AC.] 6．(多选)(2022·河北保定二模)若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3与曲线y＝－x2＋nx－6的公切线，则(　　) A．m＝－2 B．m＝－1　 C．n＝6 D．n＝7 AD　[设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3相切于点，与曲线y＝－x2＋nx－6相切于点，对于函数y＝x3，y′＝3x2，则3a2＝3，解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2. 对于函数y＝－x2＋nx－6，y′＝－2x＋n， 则－2b＋n＝3，又－b2＋nb－6＝3b－2， 所以－b2＋b－6＝3b－2， 又b>0，所以b＝2，n＝7.故选AD.] 二、填空题 7．已知函数y＝f (x)的图象在x＝2处的切线方程是y＝3x＋1，则f (2)＋f ′(2)＝________． 10　[切点坐标为(2，f (2))， ∵切点在切线上， ∴f (2)＝3×2＋1＝7， 又k＝f ′(2)＝3， ∴f (2)＋f ′(2)＝10.] 8．若直线y＝ax与曲线y＝ln x－1相切，则a＝________． 　[由y＝ln x－1，得y′＝，设切点为(x0，ln x0－1)， 则解得a＝.] 9．曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________． 　[设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行， 则y′|x＝x0＝＝2x0－＝1. ∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)， 则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝＝.] 三、解答题 10．已知f (x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f (x)，g(x)的图象都相切，与f (x)图象的切点为(1，f (1))，求m的值． [解]　∵f ′(x)＝，∴直线l的斜率k＝f ′(1)＝