课时分层作业9 幂函数与二次函数(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(九)　幂函数与二次函数 一、选择题 1．如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f (x)的图象经过的部分是④⑧，则f (x)可能是(　　) A．y＝x2　　　　 B．y＝ C．y＝x D．y＝x－2 B　[因为函数y＝xα的图象过④⑧部分，所以函数y＝xα在第一象限内单调递减，所以α<0.又易知当x＝2时，＜y＜1，所以只有B选项符合题意．] 2．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围为(　　) A．(0，4] B． C． D． C　[y＝x2－3x＋4＝＋的定义域为[0，m]，显然，在x＝0时，y＝4，又值域为，根据二次函数图象的对称性知≤m≤3.] 3．若函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，0) B．(－∞，－3] C．[－2，0] D．[－3，0] D　[当a＝0时，f (x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意； 当a≠0时，f (x)的对称轴为x＝， 由f (x)在[－1，＋∞)上单调递减，知 解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0].] 4．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，4] B．(－∞，－5) C．(－∞，－5] D．(－5，－4) C　[令f (x)＝x2＋mx＋4，∵当x∈(1，2)时，f (x)<0恒成立， ∴即解得m≤－5.] 5．(多选)(2023·潍坊模拟)已知函数f (x)＝xα的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　) A．函数f (x)为增函数 B．函数f (x)为偶函数 C．若x＞1，则f (x)＞1 D．若0＜x1＜x2，则＜f ACD　[将点(4，2)代入函数f (x)＝xα，得2＝4α，则α＝，所以f (x)＝x. 显然f (x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，A正确； f (x)的定义域为[0，＋∞)，所以f (x)不具有奇偶性，B不正确； 当x＞1时，＞1，即f (x)＞1，C正确； 当0＜x1＜x2时， － ＝－ ＝－ ＝＝－＜0， 即＜f 成立，D正确．] 6．(多选)若a＋b>0，函数f (x)＝(x－a)(x＋b)－1的零点为x1，x2(x1<x2)，则(　　) A．x1<b B．x2>a C．x1＋x2＝a－b D．x1＋x2＝b－a BC　[设g(x)＝(x－a)(x＋b)，则g(a)＝g(－b)＝0，f (x1)＝g(x1)－1＝0，g(x1)＝1，同理g(x2)＝1，所以x1＋x2＝a＋(－b)＝a－b，由a＋b>0得a>－b，又x1<x2，g(x)的图象是开口向上的抛物线，所以x1<－b，x2>a，故选BC.] 二、填空题 7．若f (x)是幂函数，且满足＝3，则f ＝________． 　[设f (x)＝xα，则＝2α＝3，∴f ＝＝.] 8．(2023·沈阳模拟)已知函数的图象关于y轴对称，且与直线y＝x相切，则满足上述条件的二次函数可以为f (x)＝________． x2＋(答案不唯一)　[因为二次函数f (x)的图象关于y轴对称，所以可设f (x)＝ax2＋c(a≠0)，由得ax2－x＋c＝0，所以Δ＝1－4ac＝0，即ac＝.可取a＝1，c＝，则f (x)＝x2＋(答案不唯一).] 9．若函数f (x)＝ax2＋2ax＋1在区间[1，2]上有最大值4，则a的值为________． 　[f (x)＝a(x＋1)2＋1－a. ①当a＝0时，函数f (x)在区间[1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； ②当a>0时，函数f (x)在区间[1，2]上单调递增，最大值为f (2)＝8a＋1＝4，解得a＝； ③当a<0时，函数f (x)在区间[1，2]上单调递减，最大值为f (1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去． 综上可知，a的值为.] 三、解答题 10．若二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f (x＋1)－f (x)＝2x，且f (0)＝1. (1)求f (x)的解析式； (2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． [解]　(1)由f (0)＝1，得c＝1，∴f (x)＝ax2＋bx＋1. 又f (x＋1)－f (x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x. ∴∴ 因此，所求解析式为f (x)＝x2－x＋1. (2)f (x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在