课时分层作业8 函数性质的综合应用(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(八)　函数性质的综合应用 一、选择题 1．(2021·全国甲卷)设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1＋x)＝f (－x).若f ＝，则f ＝(　　) A．－　 B．－　　 C．　 D． C　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (－x)＝－f (x).又f (1＋x)＝f (－x)，所以f (2＋x)＝f (1＋(1＋x))＝f (－(1＋x))＝－f (1＋x)＝－f (－x)＝f (x)，所以函数f (x)是以2为周期的周期函数，f ＝f ＝f ＝.故选C.] 2．已知函数f (x)＝－，则(　　) A．f (x)在上单调递增 B．f (x)在上单调递减 C．y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f (x)的图象关于点对称 C　[因为f (－2)＝－＝－，f (－1)＝－1－＝－， 所以f (－2)>f (－1)，所以A错误； 因为f (3)＝－1＝－，f (4)＝－＝－， 所以f (3)<f (4)，故B错误； 因为f (2－x)＝－＝＋＝－＝f (x)， 所以y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确； 在f (x)＝－的图象上取一点，则其关于点(1，0)对称的点为，因为f (4)＝－≠，所以点不在函数f (x)的图象上，故y＝f (x)的图象不关于点对称，故D错误．故选C.] 3．(2023·临沂模拟)定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋2)＝－f (x)，且在[0，1]上是减函数，则有(　　) A．f ＜f ＜f B．f ＜f ＜f C．f ＜f ＜f D．f ＜f ＜f C　[因为f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋2＋2)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4，作出f (x)的草图，如图，由图可知f ＜f ＜f .故选C. ] 4．函数f (x)的定义域为R，f (x＋2)为偶函数，且f (x＋2)＝－f (x)，当x∈[0，1]时f (x)＝mx＋n.若f (2)＋f (3)＝5，则f ＝(　　) A． B． C．－ D．－ C　[由f (x＋2)为偶函数，则f (x＋2)＝f (2－x)， 所以f (x)的图象关于直线x＝2对称，所以f ＝f (1)＝m＋n ，由f (x＋2)＝－f (x)， 令x＝1，可得f (3)＝－f (1)， 所以f (1)＝－f (1)，则f (1)＝0，即m＝－n ， 由f (x＋2)＝－f (x)，令x＝0，可得f (2)＝－f (0)， 又f (0)＝n，所以f (2)＝－n， 所以f (2)＋f (3)＝－n＝5，则n＝－5，m＝5. 因为f (x)的图象关于直线x＝2对称，则f ＝f ＝m＋n＝×5－5＝－.故选C.] 5．已知f (x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x)＝f (1＋x).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 C　[法一：∵f (x)在R上是奇函数，且f (1－x)＝f (1＋x)，∴f (x＋1)＝－f (x－1)，即f (x＋2)＝－f (x). 因此f (x＋4)＝f (x)，则函数f (x)是周期为4的周期函数， 由于f (1－x)＝f (1＋x)，f (1)＝2， 故令x＝1，得f (0)＝f (2)＝0， 令x＝2，得f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2， 令x＝3，得f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝0， 故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2. 法二：由题意可设f (x)＝2sin ，作出f (x)的部分图象如图所示． 由图可知，f (x)的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.] 6．已知定义在R上的函数f (x)的图象连续不断，有下列四个命题： 甲：f (x)是奇函数； 乙：f (x)的图象关于直线x＝1对称； 丙：f (x)在区间[－1，1]上单调递减； 丁：函数f (x)的周期为2. 如果只有一个假命题，则该命题是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 D　[由函数f (x)的特征可知，函数在区间[－1，1]上单调递减，其中该区间的宽度为2，所以函数f (x)在区间[－1，1]上单调递减与函数f (x)的周期为2互相矛盾，即丙和丁中有一个为假命题．若甲、乙成立，故f (－x)＝－f (x)，f (x＋1