课时分层作业4 基本不等式(Word练习)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

课时分层作业(四)　基本不等式 一、选择题 1．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A．　 B．4　　 C．　 D．2 D　[4＝2a＋b≥2，即2≥，两边平方得4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2.故选D.] 2．若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg (a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 C　[依题意ab＝a＋b， ∴a＋b＝ab≤， 即a＋b≤， ∴a＋b≥4，当且仅当a＝b时取等号， ∴a＋b的最小值为4. 故选C.] 3．(2023·日照实验中学模拟)下列函数中，最小值为2的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝ C．y＝ex＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0<x<1) C　[当x＜0时，选项A不符合；当0＜x＜1时，log3x＜0，logx3＜0，选项D不符合；又y＝＝＋＞2，故选项B不符合．因为ex＞0，e－x＞0，所以y＝ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立．] 4．(2023·华南师大附中模拟)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是(　　) A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算 C．两种方案一样 D．无法确定 B　[设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(x≠y)，则 方案一：两次加油平均价格为＝>， 方案二：两次加油平均价格为＝<， 故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．故选B.] 5．(多选)下列说法正确的有(　　) A．若x<，则2x＋的最大值是－1 B．若x>－2，则≥4 C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2 D．若x<1，则有最大值－5 ABD　[对于A：因为x<，所以2x－1<0，1－2x>0，所以2x＋＝(2x－1)＋＋1 ＝－＋1 ≤－2＋1＝－1(当且仅当x＝0时等号成立)，此时2x＋有最大值为－1，故A正确； 对于B：因为x>－2，所以x＋2>0，所以＝＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝2时取等号，故B正确； 对于C：因为x>0，y>0，所以x·2y≤，即2xy≤，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4(当且仅当x＝2y时等号成立)，所以x＋2y的最小值为4，故C错误； 对于D：＝＝－＋1≤－2＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－，即x＝－2时，等号成立．故D正确．] 6．(多选)(2022·石家庄二模)设正实数m，n满足m＋n＝2，则下列说法正确的是(　　) A．＋的最小值为2 B．mn的最大值为1 C．＋的最大值为4 D．m2＋n2的最小值为 AB　[∵m>0，n>0，m＋n＝2， ∴＋＝＝≥＝2， 当且仅当＝，即m＝n＝1时等号成立，故A正确； ∵m＋n≥2，∴mn≤1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故B正确； ∵≤2＝4，∴＋≤＝2，当且仅当m＝n＝1时等号成立，∴＋的最大值为2，故C错误； m2＋n2≥＝2，当且仅当m＝n＝1时等号成立，故D错误．故选AB.] 二、填空题 7．函数f (x)＝的最小值为________． [答案]　4 8．若0<x<2，则x的最大值为________． 2　[∵0<x<2， ∴x＝≤＝2， 当且仅当x2＝4－x2，即x＝时取“＝”．] 9．已知正实数x，y满足x＋y＝1. (1)则x2＋y2的最小值为________； (2)若＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是________． (1)　(2)(－∞，9]　[(1)因为x＋y＝1，xy≤＝， 所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－×2＝，当且仅当x＝y＝时取等号，即x2＋y2的最小值为. (2)若a≤＋恒成立，则a≤， 因为＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为9，即a≤9， 故实数a的取值范围是(－∞，9].] 三、解答题 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． [解]　(1)因为xy＝2x＋8y≥2， 即xy≥8，即xy≥64， 当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立， 所以xy的最小值为64. (2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1， 则x＋y＝(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝18. 当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立，