第7章 4 事件的独立性 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

§4　事件的独立性 　　 俗话说:三个臭皮匠抵一个诸葛亮。诸葛亮VS臭皮匠团队(甲、乙、丙组成)。已知诸葛亮能解出某道题的概率为0.85,甲、乙、丙能解出该道题的概率分别为0.4,0.5,0.6,请比较臭皮匠团队解出该道题与诸葛亮解出该道题的概率的大小? 1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义。 2.结合古典概型,利用独立性计算概率。 1.相互独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件。 2.相互独立事件同时发生的概率公式 两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的概率的积,即P(AB)=P(A)P(B)。 3.相互独立事件的性质 如果两个事件相互独立,那么把其中一个换成它的对立事件,这样的两个事件仍然相互独立。于是,由事件A与事件B相互独立,可以得到事件A与事件、事件与事件B、事件与事件相互独立。 　 微思考 相互独立事件与互斥事件的区别是什么? 提示:互斥事件与相互独立事件的区别 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 　 类型一 判断事件的独立性 　　【例1】　从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张,设A=“抽到K”,B=“抽到红牌”,C=“抽到J”,那么下列每对事件是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么? (1)A与B;(2)C与A。 解　(1)由于事件A为“抽到K”,事件B为“抽到红牌”,故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K,即有可能抽到K,故事件A,B有可能同时发生,显然它们不是互斥事件,更不是对立事件。 以下考虑它们是否为相互独立事件: 抽到K的概率为P(A)==, 抽到红牌的概率为P(B)==, 故P(A)P(B)=×=, 事件AB为“既抽到K又抽到红牌”,即“抽到红桃K或方块K”,故P(AB)==,从而有P(A)P(B)=P(AB),因此A与B是相互独立事件。 (2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取1张,抽到K就不可能抽到J,抽到J就不可能抽到K,故事件C与事件A不可能同时发生,A与C互斥,由于P(A)=≠0,P(C)=≠0,而P(AC)=0,所以A与C不是相互独立事件,又抽不到K不一定抽到J,故A与C并非对立事件。 　　(1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)=P(A)·P(B)),可以准确地判定两个事件是否相互独立,这是定量的计算方法,结果较准确,因此我们必须熟练掌握。 (2)判定两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析,也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响。没有影响就是相互独立事件,有影响就不是相互独立事件 【变式训练】　(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A=“甲击中目标”,事件B=“乙击中目标”,则事件A与事件B (　　) A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立 C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥 解析　对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件。故选A。 答案　A (2)掷一枚骰子一次,设事件A=“出现偶数点”,事件B=“出现3点或6点”,则事件A,B的关系是 (　　) A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥 解析　事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6},样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}。所以P(A)==,P(B)==,P(AB)==×,即P(AB)=P(A)P(B),因此,事件A与B相互独立。当“出现6点”时,事件A,B同时发生,所以A,B不是互斥事件。 答案　B 类型二 相互独立事件同时发生的概率 　　【例2】　计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”,并颁发合格证书。甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,,,在实际操作考试中“合格”的概率依次为,,,所有考试是否合格相互之间没有影响。 (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大? (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率。 解　(1)记“甲获得合格证书”为事件A,“乙获得合格证书”为事件B,“丙获得合格证书”为事件C,则 P(A)=×=, P(B)=×=, P(C)=×=。 因为P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能性最大。 (2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D,则 P(D)=P(AB