第1章 1.1 第1课时 集合的概念 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

第一章 预备知识 §1　集合 1.1　集合的概念与表示 第1课时　集合的概念 　　在生活与学习中,为了方便,我们要经常对事物进行分类。例如图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的;三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。学习了集合、元素等概念,我们就会对事物的分类有了更加清淅的认识。 1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系。 2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合。 1.元素与集合的概念 (1)一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母A,B,C,…表示。集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示。 (2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性。 2.元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与 集合的 关系 属于 如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A a∉A a不属于集合A 3.常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 记法 N N+或N* Z Q R R+ 微提醒 1.集合中的元素,必须具备确定性、互异性、无序性。反过来,一组对象若不具备这三个特性,则这组对象也就不能构成集合。 2.对任何元素a与集合A,a∈A与a∉A这两种情况有且仅有一种成立。符号“∈”“∉”仅表示元素与集合之间的关系,不能用来表示集合与集合之间的关系。 微思考 1.某班所有的“帅哥”能否构成一个集合?某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合? 提示:某班所有的“帅哥”标准不确定,所以不能构成集合;高于175厘米的男生标准是确定的,所以能构成集合。 2.某同学说“方程x2+2x+1=0的解的集合中有两个元素”,你认为这种说法对吗?为什么? 提示:不对。虽然方程x2+2x+1=0有两个根,但这两个根相等,根据集合中元素的互异性知,此集合中只有一个元素。 　 类型一 集合的概念 　　【例1】　下列对象能构成集合的是 (　　) A.高一年级全体较胖的学生 B.sin 30°,sin 45°,cos 60°,1 C.全体很大的自然数 D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点 解析　因为“较胖”的标准不明确,所以不满足集合中元素的确定性,故A错误;sin 30°=cos 60°=,不满足集合中元素的互异性,故B错误;因为“很大的自然数”的标准不明确,所以不满足集合中元素的确定性,故C错误;平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点,可知这个点就是△ABC外接圆的圆心,满足集合的定义。故D正确。 答案　D 　　一组对象能否构成集合的判断方法 判断指定的一组对象能否构成集合,关键是看这组对象是否满足集合中元素的“确定性”,即能否找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素 【变式训练】　(多选)现有以下说法,其中正确的是 (　　) A.接近于0的数的全体构成一个集合 B.正方体的全体构成一个集合 C.未来世界的高科技产品构成一个集合 D.不大于3的所有自然数构成一个集合 解析　AC不符合集合中元素的确定性,BD具有确定性。 答案　BD 类型二 元素与集合的关系 　　【例2】　(1)(多选)下列所给关系正确的是 (　　) A.π∈R B.∉Q C.0∈Z D.|-1|∉N+ 解析　根据各个数集的含义可知,ABC正确,D不正确。故选ABC。 答案　ABC (2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法。设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合。 ①0是否是集合A中的元素? ②若-5∈A,求实数a的值; ③若1∉A,求实数a的取值范围。 解　①将x=0代入方程,02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素。 ②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4。 ③若1∉A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4。 　　判断元素与集合的关系的两种方法 (1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可,此时应明确集合是由哪些元素构成的。 (2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应明确已知集合中的元素具有什么特征 【变式训练】　(1)(多选)下列关系式:正确的是(　　) A.∈R+ B.0.3∈Q C.∈N D.-5∈Z 解析　由各个数集的含义可知,∈R+,0.3∈Q,-5∈Z正确,故选ABD。 答案　ABD (2)若集合A是由所有形如3a+b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2是不是集合A中的元素? 解