专题九 矩形-2023年数学八年级暑假培训专题复习

数学八年级下暑假培优专题训练 专题九、 矩形 【专题导航】 目录 【考点1 利用矩形的性质与判定证明】............................................................................1 【考点2 利用矩形性质判定求长度】................................................................................3 【考点3 利用矩形的性质判定求角度】............................................................................5 【考点4 利用矩形性质判定求面积】................................................................................7 【考点5 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】....................................................8 【考点6 矩形中的折叠】..................................................................................................10 【典例剖析】 矩形的概念与性质 1. 概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 性质：（1）矩形的对边平行且相等； （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等。 矩形的判定 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2） 对角线相等的平行四边形是矩形； （3） 有三个直角的四边形是矩形。 直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 【考点1 利用矩形的性质与判定证明】 【典例1-1】阅读下面材料： 小石遇到这样一个问题：图1，分别是的边上的动点（不与点B重合），与的角平分线交于点P，的周长为a，过点P作于点于点N，求与的周长a的数量关系． 小石通过测量发现了垂线段与的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得解决． （1）线段与的数量关系为__________；与a的数量关系是____________． （2）如图2，当时，其它条件不变，判断点P到的距离与的周长a的数量关系，并简要说明理由． 【典例1-2】将图1、图2、图3中的直角三角形、锐角三角形、四边形纸片分别裁剪成若干块，并分别拼成一个矩形，请画出裁剪线并画出拼接示意图． 【典例1-3】如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，． (1)若，求的度数． (2)连接AG，探究AG，DG，EG的数量关系． 针对训练1 【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE＝15°； ①求证：△OEC是等腰三角形； ②求∠DOE的度数． 【变式1-2】如图,中,对角线､相交于点,若､是线段上两动点,同时分别从､两点都以1cm/s的速度向､运动． （1）求证:不论、在任何位置,四边形始终是平行四边形; （2）若cm,cm,当运动时间为何值时,四边形是矩形? 【考点2 利用矩形性质判定求长度】 【典例2-1】如图，在平行四边形中，E、F分别是上一点，且，连接交于点G，且．      (1)求证：四边形是矩形； (2)当时，求的长． 【典例2-2】如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【典例2-3】如图，在矩形中，M是边的中点，P是边上的一点，连接，且，，垂足分别为E、F．    (1)若，，求的值； (2)当矩形的长与宽满足什么数量关系时，四边形是矩形？证明你的结论． 针对训练2 【变式2-1】4．如图，在四边形中，作交于点O、交于点E，连接、，且，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长度． 【变式2-2】如图，的对角线，交于点O，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【考点3 利用矩形的性质判定求角度】 【典例3-1】综合与实践 问题情境 如图1，是线段上任意一点（不与点，重合），分别以和为斜边在同侧构造等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，取的中点，的中点，连接． (1)猜想验证 如图1，当点与点重合时，试判断与之间的数量关系，并说明理由． (2)延伸探究 如图2，当点与点不重合时，问题（）中的