2.5.1 幂函数（讲+练）-2023年初升高数学无忧衔接（通用版）

第2.5章 基本初等函数 2.5.1 幂函数 高中要求 1了解幂函数的概念； 2结合函数，， 的图象，了解它们的变化情况 1 幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 注 注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数； 2正数的正分数指数幂的意义 (1)正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记子内母外(根号内的作分子，根号外的作为分母) (2)正数的正分数指数幂的意义： Eg ，，. (3)的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 3幂函数图像及其性质 (1) 幂函数的图象． (2) 幂函数的性质 图象X|X|K] 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递增 在 上递增 在上递减 在上递减 定点 (3)性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸. Eg 图象上凸，图象下凹，在上是增函数． ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． Eg ， 【题型1】幂函数的概念 【典题1】已知函数是幂函数，则______． 变式练习 1.已知是幂函数，则 . 2.幂函数的图象过点，则_________． 【题型2】 幂函数的图象及其性质 【典题1】 幂函数在第一象限的图象如图所示，则的大小关系是 (　　) A． B． C． D． 【典题2】已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则 . 【典题3】已知点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)判断函数的单调性并用定义证明； (3)问为何值时有． 变式练习 1.任意两个幂函数图象的交点个数是(　　) A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个 C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个 2. 函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　) A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 3.幂函数经过点，则是(　　) A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在是减函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数 4.如图所示是函数(且互质)的图象，则(　　) 是奇数且 是偶数，是奇数，且 是偶数，是奇数，且 是偶数，且 5.已知幂函数在上单调递增，则的解析式是 . 6.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则　 　． 7.已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式． 8.已知幂函数 (1)若为偶函数，且在上是增函数，求的解析式； (2)若在上是减函数，求的取值范围． 【题型3】 幂函数的应用 【典题1】 比较下列各组数的大小． (1) 和； (2) 和； 变式练习 1.已知，，，则( ) A． B． C． D． 2.已知为幂函数，且为奇函数． (1)求函数的解析式；(2)解不等式． 1.图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取四个值，则相应于曲线，的依次为 (　　) ． ． 2.若三个幂函数在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是(　　) 3.下列命题中： ①幂函数的图象都经过点和点； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当时，幂函数的图象是一条直线； ④当时，幂函数是增函数； ⑤当时，幂函数在第一象限内的函数值随的值增大而减小． 其中正确的是(　　) A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤ 4.函数的图象是(　　) A． B．C． D． 5.已知函数是幂函数，则的值为 　 ． 6.已知幂函数的图象经过点，则的值为 　 ． 7.已知幂函数过点，则的解析式是 ，定义域是 ，在上的单调性是 . 8.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是　 　． 9.已知幂函数，且． (1)求函数的解析式； (2)证明函数在定义域上是增函数． 10.已知函数是幂函数且在上为减函数，函数在区间上的最大值为，试求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zx