1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（六种常考题型）-【高一升高二衔接】2023年新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 （六种常考题型） 知识点1 空间距离及向量求法 1. 点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 2. 点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 知识点2 空间角及向量求法 1. 用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 2. 用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3. 用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 题型一 点到直线的距离 1．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（    ） A． B． C． D． 2．设正方体的棱长为1，则点到的距离为______. 3．已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为___________. 4．已知空间三点，则点到直线的距离为_____________． 5．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知直线l的方向向量为，为直线l上一点，若点为直线l外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离可能为（    ） A．2 B． C． D．1 7．如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A． B． C． D． 8．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段上的中点，点M满足，则点M到直线AE的距离为________________． 9．如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，是棱上两点（在的上方），且.    (1)若，求证：平面； (2)当点到平面的距离取得最大值时，求的长. 10．已知正四棱柱中，，，点为棱的中点． (1)求二面角的余弦值； (2)连接，若点为直线上一动点，求当点到直线距离最短时，线段的长度． 11．如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为4，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______ . 12．（多选）如图，四棱柱的底面ABCD是正方形，O为底面中心，平面ABCD，．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A． B．平面 C．平面的一个法向量为 D．点B到直线的距离为 题型二 点（直线）到平面的距离 13．如图，在棱长为2的正方体中，F，G分别是，的中点，则点到平面BGF的距离为_________．    14．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 15．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求直线与平面所成角的余弦值． (2)求直线到平面的距离． 16．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为线段，的中点. (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 17．（多选）在直三棱柱中，平面，且，为中点，则下列说法正确的是（    ） A．无论为何值时，均有平面成立 B．当时，平面 C．当时，与所成角的余弦值为 D．当时，点到平面的距离为 18．如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点是的中点．    (1)直线与平面所成角的正弦值； (2)点到平面的距离. 19．在空间直角坐标系中，一四面体的四个顶点坐标分别为，则其体积为___________． 20．已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（      ）    A． B． C． D． 21．已知四棱锥，底面是菱形，，平面，，点满足.        (1)求二面角的平面角的余弦值； (2)若棱上一点到平面的距离为，试确定点的位置. 22．（多选）在正方体中，分别为的中点，则（    ）    A．直线与直线垂直 B．点与点 到平面的距离相等 C．直线与平面平行 D．与的夹角为 23．如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，.    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 24．如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 题型三 异面直线所成的角 25．（多选）如图，在正方体中，分