1.2 空间向量基本定理（四种常考题型）-【高一升高二衔接】2023年新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

1.2空间向量基本定理（四种常考题型） 知识点1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 知识点2 空间向量的正交分解 1.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 题型一 基底的判断 1．若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（    ） A． B．，， C．，， D． 2．已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 3．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（多选）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 5．是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．空间向量与的长度相等 B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 7．设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（    ） A．若，，则 B．，，一定能构成空间的一个基底 C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组，使 D．存在有序实数对，使得 8．（多选）设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知O，A，B，C为空间的四个点，则（    ） A．若构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若与共线，则存在一个向量与构成空间的一个基底 D．若，则是M，A，B，C四点共面的充要条件 10．（多选）已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（    ） A．不是空间的一组基底 B．不是空间的一组基底 C．向量的模是2 D．向量和的夹角为 11．关于空间向量,以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点,有,则四点共面 C．设是空间中的一组基底,则也是空间的一组基底 D．若,则是钝角 题型二 基底的运用 12．在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 13．如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 14．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（    ） A． B． C． D． 15．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 16．在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 17．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（    ）      A． B． C． D． 18．如图，空间四边形OABC中，G、H分别是、的重心，D为BC的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.    19．在平行六面体中，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 20．如图，在四面体OABC中，设，，，G为的重心，以为空间基底表示向量，．    21．对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点． (1)试证：与，共面； (2)，，，试用基底{，，}表示向量． 22．已知不共面，，，，若，则______． 23．如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，. (1)用，，表示； (2)计算. 24．已知在平行六面体中，，，且. (1)求的长； (2)求向量与夹角的余弦值. 题型三 正交分解 25．平面上任何两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底，若作为基底的两个向量相互垂直就称该组基底是一组正交基底.施密特正交化法指出任何一组不共线的向量都可以转化为一组正交基底，其方法是对于一组不共线的向量，，令，那么就是一个与配对组成正交基底的向量.若，，按照上述方法，可以得到的与配对组成正交基底的向量是______. 26．已知正方体的棱长为 1， 以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 27．已知平面ABC