1.1.1 空间向量及其线性运算（四种常考题型）-【高一升高二衔接】2023年新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

1.1.1空间向量及其线性运算（四种常考题型） 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 知识点2 空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 知识点3　共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 题型一 空间向量的有关概念 1．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 2．（多选）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 3．下列命题中是假命题的是（     ） A．任意向量与它的相反向量不相等 B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小 C．如果，则 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 4．在平行六面体中，与向量相等的向量共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中： （1）单位向量有__________________； （2）模为的向量有_________个； （3）与相等的向量有_________； （4）的负向量有_________； （5）化简结果的向量：_________，_________． 6．下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 7．下列向量中，真命题是______．（填序号） ①若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A、B、C、D不在一条直线上，则与不是共线向量； ③向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上； ④向量与是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上． 8．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图所示，在长、宽、高分别为，，的长方体中，以八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)问单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量. 10．如图所示，在正四棱台中，为棱上任意一点.以、、、、、、、、这九个点中的两个点为向量的起点和终点，分别写出满足下列条件的向量. (1)与平行且方向相同的向量，与相等的向量； (2)用三个向量的和表示（举三个例子）. ．哈九中校考开学考试）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中 ①+与1+1