专题10 指数（六大题型）-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）

专题10 指数 【题型归纳目录】 题型一：由根式的意义求范围 题型二：利用根式的性质化简或求值 题型三：有限制条件的根式的化简 题型四：根式与指数幂的互化 题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值 题型六：整体代换法求分数指数幂 【知识点梳理】 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二、根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识点四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点诠释： （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 【典例例题】 题型一：由根式的意义求范围 例1．（2023·高一单元测试）若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例2．（2023·全国·高一专题练习）若有意义，则的取值范围是（    ） A． B．∪ C． D． 例3．（2023·高一课时练习）若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·江苏·高一专题练习）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·高一课时练习）若有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：利用根式的性质化简或求值 例4．（2023·高一课时练习）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 例5．（2023·高一课时练习）给出下列4个等式：①；②；③若a∈R，则；④设n∈N*，则，其中正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 例6．（2023·高一课时练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·高一课时练习）将根式化为分数指数幂是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2023·吉林·高一吉林省实验校考期中）化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 变式5．（2023·高一课时练习）化简（其中）的结果是 A． B． C． D． 题型三：有限制条件的根式的化简 例7．（2023·全国·高一专题练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 例8．（2023·江苏·高一专题练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 例9．（2023·高一课时练习）若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 变式6．（2023·高一单元测试）等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 变式7．（2023·高一课时练习）若，，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 变式8．（2023·青海西宁·高一统考期末）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型四：根式与指数幂的互化 例10．（2023·高一课时练习）化简：= ______．（用分数指数幂表示）. 例11．（2023·上海金山·高一统考阶段练习）将化为有理数指数幂的形式为__________． 例12．（2023·山东济南·高一校考期中）计算：_____（写成分数指数幂的形式） 变式9．（2023·湖南益阳·高一统考期末）计算：__________. 变式10．（2023·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）用有理数指数幂的形式表示__________． 变式11．（2023·上海浦东新·高一统考期末）用有理数指数幂的形式表示（其中）____________. 题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值 例13．（202