8.2.1一元线性回归模型 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册)

第八章 成对数据的统计分析 8.2 一元线性回归模型及应用 8.2.1 一元线性回归模型 1. 样本相关系数： 2.相关系数的性质： ① 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关. ② |r|≤1； ③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱；特别地，当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系；当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上. 复习回顾 新课导入 通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等. 思考 是否可以能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型来刻画两个变量之间的相关关系？ 并通过模型进行预测？ 下面我们研究当两个变量线性相关时，如何利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测的问题. 新知探究 生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高. 为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如下表所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 我们先用散点图对上面的数据进行分析。 问题1 根据上述数据画出来的散点图，你发现了什么？ 可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关. 利用统计软件，求得样本相关系数为r≈0.886，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高. 新知探究 问题2 根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？ 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 … 172 … 父亲身高 … 176 174 … 儿子身高 儿子身高不是父亲身高的函数 … 170 … 儿子身高 … 173 169 … 父亲身高 父亲身高不是儿子身高的函数 新知探究 儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，故不能用函数模型刻画. 但由于父子的身高有较强的线性相关，因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响 问题3 除父亲身高外，还有哪些因素影响儿子的身高？ 随机误差e 母亲身高 生活环境 饮食习惯 体育锻炼 …… 新知探究 追问 如何理解随机误差e对儿子身高的影响？ 假设没有随机误差，则儿子身高Y只受父亲身高x影响，则 事实上，相关系数 ，故 也可以记作 Y=bx+a+e 随机误差e 随机误差e的特征 随机误差e是一个随机变量 ①可取正或取负 ②有些无法测量 ③不可事先设定 对于任意一组（xi,Yi）,都有一个ei与之对应 新知探究 由于随机误差表示大量已知和未知的各种影响之和，它们会相互抵消，为使问题简洁，可以假设随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值，即E(e)=0，D(e)=.则它们之间的关系可以表示为： 我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型. 其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差. 模型中的Y也是随机变量，其值虽然不能由变量x的值确定，但是却能表示为bx+a与e的和(叠加)，前一部分由 x所确定，后一部分是随机的. 如果e=0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 新知探究 追问 为什么要假设E(e)=0，而不假设其为某个不为0的常数？ 因为误差是随机的，即取各种正负误差的可能性一样，所以它们均值的理想状态应该为0. 如果随机误差是一个不为0的常数，则可以将合并到截距项a中，否则模型无法确定，即参数没有唯一解. 另外，如果不为0，则表示存在系统误差，在实际建模中也不希望模型有系统误差，即模型不存在非随机误差. 问题4