4.4.3 不同函数增长的差异 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

4.4.3　不同函数增长的差异 情境导入 课程标准 　　1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只,可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于7.5亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低。直至二十世纪五十年代,科学家采用粘液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子,澳大利亚人才算松了一口气。可见兔子在适宜的环境下,其繁育的数量呈“爆炸性增长”。 结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三种常见函数模型的增长差异 　　　函数 性质　　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=kx (k>0) 在(0,+∞) 上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度 增长结果 存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax 微思考 1.函数y1=log3x与函数y2=3x,当x从1增加到m时,函数的增量分别是Δy1与Δy2,则根据两类函数的增长差异,Δy1与Δy2的大小关系如何? 提示:由于对数函数在x>1后的增长速度小于指数函数的增长速度,所以Δy1<Δy2。 2.在区间(0,+∞)上,当a>1,n>0时,是否总有logax<xn<ax成立? 提示:不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,logax<xn<ax成立。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 研究函数y=ax(a>1),y=xn(n>0),y=logax(a>1)的增长差异 　　【例1】　在同一坐标系内作出函数y=2x,y=x2,y=log2x的图象并探究在(0,+∞)上它们的增长情况。 解　在同一直角坐标系内作出函数y=2x,y=x2,y=log2x的图象,如图所示,观察归纳可知, 当0<x<2时,2x>x2>log2x。 当2<x<4时,x2>2x>log2x。 当x>4时,2x>x2>log2x。 　　在(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢,总会存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax。 　　【变式训练】　四人赛跑,假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x。假设他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是 (D) A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x 解析　x足够大时,跑在最前面的人具有的函数关系是指数函数。 类型二 指数函数、对数函数与幂函数的增长比较 【例2】　函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示。设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2。 (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数; (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 011),g(2 011)的大小。 解　(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x。 (2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10), 所以1<x1<2,9<x2<10, 所以x1<6<x2,2 011>x2, 从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6)。 当x>x2时,f(x)>g(x), 所以f(2 011)>g(2 011)。 又因为g(2 011)>g(6), 所以f(2 011)>g(2 011)>g(6)>f(6)。 　　由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数。 　　【变式训练】　函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示。 (1)试根据函数增长差异找出曲线C1,C2对应的函数; (2)以两图象交点为分