15.4 角的平分线-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（沪科版)

第１５章　轴对称图形与等腰三角形 ２０５　 0  0 １５．４　角的平分线 知识点一　 用尺规作角的平分线与过 一点作已知直线的垂线 １．作角的平分线的方法 名称 作法 折叠法 通过折纸,使已知角的两边重合,折痕就是角 的平分线所在的直线 度量法 先用量角器量出已知角的度数,并除以２,再 用量角器画出这个角的平分线 尺规作图法 (１)以点O 为圆心,任意长为半径画弧分别 交OA,OB 于点M,N． (２)分别以点M,N 为圆心,以大于 １ ２MN 长 为半径在角的内部画弧交于点P． (３)作 射 线 OP,则 OP 就 是 所 要 求 作 的 ∠AOB 的平分线． (１)在用尺规作角的平分 线时,必须以大于或等于 １ ２MN 长为半径画弧,否 则两弧无交点． (２)作 图 时,弧 的 画 法 以 美观为主,没必要太长或 太短． (３)两弧的交点应在角的 内部找,因为角的平分线 在角的内部． (４)在 作 法 中 “作 射 线 OP”不 能 说 成 “连 接 OP”,因为角平分线是射 线而不是线段． (５)尺规作图要保留作图 痕迹． 数学　八年级　上册 ２０６　 0  0 (１)经过直线上的一点作这条 直线的垂线,其作法类似于角 平分线的尺规作图法． (２)经过直线外的一点作这条 直线的垂线,其作法类似于线 段垂直平分线的尺规作图法． 图１５．４Ｇ１ ２．过一点作已知直线的垂线 点与直线的位置 作法 点C 在直线上 作平角ACB 的平分线CF．直线CF 就 是所求作的垂线 点C 在直线外 (１)任意取一点K,使 K 和C 在AB 的 两旁． (２)以点C 为圆心,CK 长为半径作弧, 交直线AB 于点D 和E． (３)分别以点 D 和点E 为圆心,大于 １ ２DE 的长为半径作弧,两弧交于点F． (４)作直线CF,则直线CF 就是所要求 作的垂线 【例１】用尺规将∠AOB 四等分． 解 如图１５．４Ｇ１所示． (１)以O 为圆心,任意长为半径画弧分别交OA,OB 于点E,F; (２)分别以点E,F 为圆心,以大于 １ ２EF 长为半径在 角的内部画弧交于点P; (３)作射线OP,OP 为∠AOB 的平分线． 用同样方法可作∠AOP 和∠BOP 的平分线,从而将 ∠AOB 四等分． 第１５章　轴对称图形与等腰三角形 ２０７　 0  0 知识点二　角平分线的性质定理 文字语言 数学语言 角平分线上的点 到角两边的距离 相等 因为点 P 在∠AOB 的平分线上,PD ⊥ OA,PE⊥OB,垂足分别为点 D,E,所以 PD＝PE 【例２】如图１５．４Ｇ４,在△ABC 中,∠C＝９０°,AD 平分 ∠CAB,如果BC＝８cm,BD＝５cm,那么点D 到直 线AB 的距离是　　　　cm． 图１５．４Ｇ４ 解析 过点D 作DE⊥AB 于点E(图略),所以点 D 到直线AB 的距离是DE 的长． 因为∠C＝９０°,AD 平分∠CAB,所以DE＝CD． 又因为BC＝８cm,BD＝５cm, 所以DE＝CD＝８－５＝３(cm),即点 D 到直线AB 的距离是３cm． 答案３ 利用角平分线的性质求线段长度的方法 　　已知一个点在某个角的平分线上时,一般过该点 向角的两边作垂线,运用“角平分线上的点到角两边 的距离相等”寻找线段的相等关系．有时可结合全等 三角形建立未知线段与已知线段的联系,从而求出待 求线段的长度． (１)性质定理中包含两个 条件:一是这个点在角的 平分线上,二是过这个点 的线段与角的两边垂直． (２)这里的“距离”指的是 点到 角 的 两 边 的 垂 线 段 的长度． (３)该性质可以独立作为 证明 两 条 线 段 相 等 的 依 据,不需要再用全等三角 形来证明． 角平分线性质的“两误区” (１)垂 足 的 位 置 不 对:如 图 １５．４Ｇ２,垂线段的垂足应在角 的两 边 上,而 不 是 在 角 平 分 线上; 图１５．４Ｇ２ (２)有相等无垂直:如图１５．４Ｇ ３,PC＝PD,只是线段相等, 不是距离相等． 图１５．４Ｇ３ 所以两种图形 表 示 的 都 不是角平分线的性质的应用． 数学　八年级　上册 ２０８　 0  0 (１)在 应 用 这 个 定 理 时, 要分清条件:这个点在角 的内部,过该点向角的两 边作垂线段,这两条垂线 段相等． (２)常用该定理证明两个 三角 形 中 有 公 共 边 的 两 个角相等． 　　角的平分线可以看作是 由角的内部到角的两边距离 相等的所有点组成的射线． 知识点三　角平分线的性质定理的逆定理 文字语言 数学语言 角的内部到角两 边距离相等的点 在角的平分线上 因为点 P 在∠AOB 的内部,PD ⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为点D,E,PD＝PE, 所以点P 在∠AOB 的