重点03 立体几何中的体积、夹角及距离-【高一升高二衔接】2023年新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

重点03 立体几何中的体积、夹角及距离 题型一 体积及距离 ①体积 ②点面距离 题型二 求夹角 ①异面直线的夹角 ②线面角 ③面面角 题型三 知空间角求其他量 题型一 体积及距离 ①体积 例1．在三棱锥中，已知二面角的大小为，为等边三角形，且，为的中点．    (1)求证：； (2)求三棱锥的体积． 例2．在四棱锥中，底面是矩形，若，．    (1)证明：平面平面； (2)若分别是的中点，动点P在线段EF上移动，求三棱锥的体积． 练习1．如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，，，分别是，，的中点． (1)求证：平面； (2)设，求三棱锥的体积． 练习2．如图，正三棱柱中，，，点为的中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 练习3．如图，在正四棱锥中，，，、、分别为中点.    (1)求证：平面； (2)三棱锥的体积. 练习4．如图1，、、分别是边长为的正方形的三边、、的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个空间五面体，如图2． (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 练习5．在正方体中，M，N分别是线段，BD的中点.    (1)求证：平面； (2)若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积. ②点面距离 例3．在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，顶点在平面的射影为边的中点．    求点到平面的距离． 例4．在四棱锥中，，，，，为等边三角形，． (1)证明：平面平面PBC； (2)求点C到平面PAB的距离． 练习6．如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，且直线AM与直线PC所成的角为60°.    (1)求证：平面PAC⊥平面ABC； (2)求异面直线PA与MB所成角的余弦值. 练习7．如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点． (1)若，棱上是否存在点，使得平面平面？并说明理由； (2)若，，，异面直线与成角，求异面直线与所成角的余弦值． 练习8．在正方体中，为中点，为中点，过且与平行的平面交平面于直线. (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值. 练习9．如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点． (1)证明：CD⊥AE； (2)点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值． 练习10．如图所示，已知多面体的底面是边长为6的菱形，底面且． (1)证明：平面； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值． 题型二 求夹角 ①异面直线的夹角 例5．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点.    (1)证明平面. (2)求异面直线与所成的角； 例6．如图，四面体的顶点都在以为直径的球面上，底面是边长为的等边三角形，球心到底面的距离为．    (1)求球的表面积； (2)求异面直线和成角的余弦值． 练习11．已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，，∠ACB＝90°．    (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值． 练习12．如图，三棱柱中，底面ABC，△ABC为等边三角形，AB＝6，，M为棱BC的中点.    (1)证明：//平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线AB与平面所成角的正弦值. 练习13．如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．    (1)求证：平面PAD； (2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD． (3)若PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，求直线PB与面PAD所成的角． 练习14．如图，多面体中，四边形为矩形，二面角的大小为，，，，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 练习15．如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． ②线面角 例7．如图，在正方体中．    (1)求证：平面平面； (2)求直线和平面所成的角． 例8．已知三棱柱中，是边长为2的等边三角形，且，平面平面，三棱锥的体积为.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 练习16．如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且.    (1)证明：平面. (2)作出二面角的平面角，并求其大小. 练习17．在三棱锥中，，平面平面，且.    (1)证明：； (2)若是直线上的一个动点，求直线与平面所成的角的正切值最大值. 练习18．已知正三棱柱中，，D为AC边的中点，