3.5 三元一次方程组及其解法-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（沪科版)

３．５三元一次方程组及其解法 知识点一　三元一次方程组 三元一次方程组必须同时具备的三个条件: 三元 一次 方程组 整个方程组里有且只有三个未知数 含有未知数的项的次数都是１ 方程组中有三个整式方程 ü þ ý ï ï ï ï → 三者 缺一 不可 ì î í ï ï ï ï 【例１】下列方程组中,不是三元一次方程组的是(　　) A． x＋y＝１, ２y＋z＝－２, ３y＝６ ì î í ï ï ï ï 　　　B． x２－４＝０, y＋１＝x, xy－z＝－３ ì î í ï ï ï ï C． x＝２, ２y＝－３, x－z＝１ ì î í ï ï ï ï D． y－x＝－１, x＋z＝３, ２y－z＝０ ì î í ï ï ï ï 解析:由三元一次方程组的概念,知 A项、C项、D项 都是三元一次方程组．B项,x２－４＝０,未知数x 的次 数为２;xy－z＝－３,xy 项的次数为２,所以该方程组 不是三元一次方程组． 答案:B 知识点二　三元一次方程组的解法  解三元一次方程组的基本思路 三元一次方程组 　消元　　 →二元一次方程组 　消元　 → 一元一次方程 'F 三元一次方程组中共有三 个未知数,但不一定每个方 程中 都 有 三 个 未 知 数,如 ２x＝３, ３y＝１, z＝－１ ì î í ï ï ïï 就是一个三元一次 方程组． 'F 解三元一次方程组时,不要 盲目求解,要依据各未知数 系数的特点选择适当的消 元方法去求解,在将“三元” 转化为“二元”时,要注意以 下四点: (１)先消去某个方程缺少的 未知数; (２)先消去系数最简单的未 知数; １５１ (３)先消去系数成整数倍的 未知数; (４)注意整体加减或代入的 应用． U A /1U
""
 E/1    /3  /3 'F 用三元一次方程组解决实 际问题与用二元一次方程 组解决问题类似,关键是根 据题目给出的条件找出相 等关系．  解三元一次方程组的一般步骤 步骤 　　 【例２】解方程组: x＋y＋z＝２６, x－y＝１, ２x＋z－y＝１８． ì î í ï ï ï ï ① ② ③ 消元:利用代入法或加减法, 把方程组中的一个方程与另 外两个方程分别组成方程组, 消去两个方程组中同一个未 知数,得到关于另外两个未知 数的二元一次方程组． → 解:③－①,得 x－２y＝－８,　　④ ②与④组成方程组 x－y＝１, x－２y＝－８．{ ↓ 求解:解这个二元一次方程 组,求出两个未知数的值． → 解这个二元一次 方程组,得 x＝１０, y＝９．{ ↓ 回代:将求得的这两个未知 数的值代入三元一次方程组 中系数较简单的方程中,并 求出第三个未知数的值． → 把x＝１０,y＝９ 代入①, 得z＝７． ↓ 写解:写出方程组的解并用 “{”联立． → 所以原方程组的解是 x＝１０, y＝９, z＝７． ì î í ï ï ï ï 知识点三　三元一次方程组的实际应用 列三元一次方程组与列二元一次方程组解决实际问题的 步骤类似,也是按照审、设、列、解、验、答进行,不同的是 三元一次方程组解决实际问题一般需要找三个相等关 系,设三个未知数列出符合条件的三元一次方程组以达 到解决问题的目的． ２５１ 【例３】某市举办足球联赛活动,这次足球联赛共赛１１轮, 胜一场记３分,平一场记１分,负一场记０分．某校队 负场数是胜场数的 １ ２ ,结果共得２０分．问该校队胜、 平、负各多少场． 分析:本题中的已知量有比赛总场数、总得分数、胜的 场数与负的场数之间的关系．相等关系有胜场数＋负 场数＋平场数＝１１;胜场积分＋平场积分＝总积分; 胜场数＝负场数×２．根据以上相等关系列方程组,问 题便能得到解决． 解:设该校队胜x 场、平y 场、负z场． 根据题意,得 x＋y＋z＝１１, ３x＋y＝２０, x＝２z, ì î í ï ï ï ï 解得 x＝６, y＝２, z＝３． ì î í ï ï ï ï 答:该校队胜６场、平２场、负３场． @ @ 列方程解应用题 列方程解应用题, 审设列解检验答． 审题弄清已未知, 设元直间两办法． 列表画图造方程, 解方程时守章法． 检验准且合题意, 问求同一才作答． 题型一　解三元一次方程组 一般型三元一次方程组的解法 【例１】解方程组: x＋y＋z＝１２, ① x＋２y＋５z＝２２, ② x＝４y． ③ ì î í ï ï ï ï 审题关键:找出方程组中系数简单的方程确定用代入 消元法还是加减消元法,把三元一次方程组转化为二 元一次方程组,再转化为一元一次方程进行求解． 破题思路:把③代入①和②,消去x,得到关于y 和z 的二元一次方程组,分别解出它们的值,再把y 的值 代入③得到x 的值．