3.1 一元一次方程及其解法-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（沪科版)

第３章　一次方程与方程组 ３．１一元一次方程及其解法 知识点一　一元一次方程  一元一次方程 一元一次方程 等式两边都是整式 只含有一个未知数(元) 未知数的次数都是１ ü þ ý ï ï ï ï → 三个条件, 缺一不可 ì î í ï ï ï ï 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)“元”是指未知数,“一元”是指只含有一个未 知数． (２)分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程． (３)化简后,未知数的系数不能为０．  方程的解和解方程 (１)方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值．一 元方程的解,也可叫做方程的根． (２)解方程:根据等式的性质求方程的解的过程． 【例１】下列方程中,哪些是一元一次方程? 为什么? (１)４x－３x＝０;　(２)３a２＝５;　(３)x＋１＝ １ x ; (４)２x－６y＝３x－１;　(５)x＝１． 解:方程(１)(５)是一元一次方程． 方程(２)不是一元一次方程,因为未知数a 的次数是 ２,而不是１． 方程(３)不是一元一次方程,因为等式的右边不是整 式(是分式,以后会学到)． 'F (１)一元一次方程的标准形 式:ax＋b＝０(a≠０),其中 x 是未知数,a,b是已知数． (２)判断是否为一元一次方 程时,原方程可化简的需先 化简再判断．例如,３x＋２y－ ２y＝３,化简后为３x＝３,是 一元一次方程． 'F 方程的解和解方程是不同 的概念,方程的解是求得的 结果,它是一个数值(或几 个数值),而解方程是指求 方程的解的过程． ３０１ 'F 在解题过程中,根据等式的 传递性,一个量用与它相等 的量代替,简称等量代换． 方程(４)不是一元一次方程,因为方程中含有x 和y 两 个未知数． 4 一元一次方程的识别 判断一个方程是否为一元一次方程,首先看它是 否为整式方程,然后能化简的要化简,最后判断未知 数的个数和次数． 知识点二　等式的基本性质 等式的基 本性质 内容 代数表示 性质１ 等式的两边都加上 (或减去)同一个数 或同 一 个 整 式,所 得结果仍是等式 如果a＝b,那 么a±c＝b±c 性质２ 等式的两边都乘以 (或除以)同一个数 (除数不能为０),所 得结果仍是等式 如果a＝b,那 么ac＝bc, a c＝ b c (c≠０) 性质３ (对称性) 　　　　　　 如果a＝b,那 么b＝a 性质４ (传递性) 　　　　　　 如果a＝b,b＝ c,那么a＝c 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:等式的基本性质是等式变形的依据． (１)在运用等式的基本性质１时,必须是在等式的“两 边”同时加上(或减去)同一个数或同一个整式,不要漏 掉等号的任何一边． (２)在运用等式的基本性质２时,不能在等式两边同时除 以０．特别是字母表示的除数,要注意字母的取值范围． 【例２】用适当的数填空,并说明是根据等式哪一条基本 性质变形得到的． ４０１ (１)若３x＋５＝２,则３x＝２－ (　　　　 ); (２)若－２x＝５,则x＝ (　　　　 )． 解:(１)５　根据等式的基本性质１,两边都减去５． (２)－ ５ ２　 根据等式的基本性质２,两边都除以－２． 4 火眼金睛观察等式的变形 通过比较变形前、后两个等式的某一边,先分析 两个等式是如何变形的,从而确定变形的依据,再对 等式的另一边进行相同的变形． 【例３】利用等式的基本性质解方程－ １ ３x－５＝x ,并 检验． 解:两边都加上５,得－ １ ３x＝x＋５． 两边都减去x,得－ ４ ３x＝５． 两边都除以－ ４ ３ ,得x＝－ １５ ４． 检验:把x＝－ １５ ４ 分别代入原方程的两边,得 左边＝－ １ ３× (－ １５ ４ )－５＝－ １５ ４ ,右边＝－ １５ ４ , 即左边＝右边． 所以x＝－ １５ ４ 是原方程的解． 4 利用等式的基本性质解方程 解方程的目标就是把方程最终转化为x＝a 的 形式．在转化的过程中可以灵活地连续多次使用等式 的基本性质,始终要朝着最终目标转化．