2.4.1 函数的概念（讲+练）-2023年初升高数学无忧衔接（通用版）

第2.4章 函数的概念与性质 2.4.1 函数的概念 高中要求 1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用; 2了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域; 3 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 一 函数的概念 1 概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 比如 贵哥西藏骑旅中，以的速度从大理去相距的丽江，出发小时后行驶的路程是，则是的函数，记为，定义域是，值域为．对集合中的任意一个实数，在集合中都有唯一的数和它对应． 对函数概念的理解 ① 是非空的数集，一方面强调了只能是数集，即中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集． ② 函数中，集合间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合中的元素可以在集合没元素对应. ③ 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集中的任意一个(任意性)元素，在非空数集中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数． 2 定义域 ① 概念：函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．实际问题中，定义域要受到实际意义的制约． 3 值域 ① 概念：函数值的取值范围 ② 求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 4 区间 区间的几何表示如下表所示： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 半开半闭区间 开区间 开区间 【例】将下列集合用区间表示出来． (1)；(2)；(3)；(4)或． 【题型1】函数概念的理解 【典题1】 下列式子中是的函数的是(　　) A． B． C． D． 【典题2】若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是( ) A．B．C．D． 变式练习 1.下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是 (　　) A． B． C．D． 2.给定的下列四个式子中，能确定是的函数的是(　　) ① ② ③ ④． ① ② ③ ．④ 3.设集，给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是( ) A. B.C. D. 4.集合，给出下列四个图形，其中能表示以为定义域，为值域的函数关系的是(　　) A． B． C． D． 5.函数与函数 (　　) 是同一个函数 定义域相同 图象重合 值域相同 【题型2】 函数的定义域 【典题1】 求下列函数的定义域： ； ． 【典题2】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为(　　) 变式练习 1.函数的定义域为 . 2.函数的定义域为 . 3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为　 　． 4.若函的定义域为，则实数的取值范围是 　． 【题型3】 判断同一函数 【典题1】 下列各组函数中表示的函数不同的是(　　) ． ． 变式练习 1.在下列四组函数中，与表示同一函数的是(　　) ． ． ． 2.下列各组函数中，表示同一函数的是(　　) A． B． C．D．， 1.由下列各式能确定是的函数是(　　) A． B． C． D．以上都不是 2.图中，能表示函数的图象的是(　　) A． B． C． D． 3.下面各组函数中是同一函数的是(　　) ．与 与 ．与 ．与 4.关于函数与函数的叙述一定正确的是(　　) 定义域相同 对应关系相同 値域相同 定义域、値域、对应关系都可以不相同 5.函数的定义域为( ) A． B．C． D． 6.已知函数定义域为，则函数的定