28.2.1 解直角三角形-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（人教版)

第二十八章　锐角三角函数 １１７　 ２８．２　解直角三角形及其应用 ２８．２．１　解直角三角形 １．理解解直角三角形的含义,掌握直角三角形的边、角及边角关系． ２．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． ３．能通过作高构造直角三角形解非直角三角形． 知识点　解直角三角形 １．解直角三角形的概念 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即 三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素,求 出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:在一个解直角三角形的题目中,无特别说明, 一般不包括求周长和面积． ２．直角三角形中的边角关系 关系 具体内容 图示 三边之间 的关系 a２＋b２＝c２(勾股定理) 两 锐 角 之 间的关系 ∠A＋∠B＝９０° 边、角之间 的关系 sinA＝ ∠A 的对边 斜边 ＝ a c , sinB＝ ∠B 的对边 斜边 ＝ b c ; cosA＝ ∠A 的邻边 斜边 ＝ b c , cosB＝ ∠B 的邻边 斜边 ＝ a c ; tanA＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边＝ a b , tanB＝ ∠B 的对边 ∠B 的邻边＝ b a 　　(１)在解直角三角形 的问 题 中,除 直 角 外,还 需知道两个条件,其中至 少有一个条件是边,否则 无法解直角三角形． 　　(２)解直角三角形就 是把 三 角 形 中 所 有 的 未 知元素求出来的过程,不 是只 求 单 独 的 一 条 未 知 边或一个未知角,即解直 角三 角 形 就 是 求 出 所 有 的未知元素． 数学　九年级　下册 １１８　 　　 运 用 Rt△ABC(∠C＝ ９０°,∠A,∠B,∠C 所对的边 分别为a,b,c)中的边角关系 时,常用到下列变形: 　　(１)锐 角 之 间 的 常 用 关 系:∠A ＝９０°－ ∠B,∠B＝ ９０°－∠A; 　　(２)三 边 之 间 的 常 用 变 形:a ＝ c２－b２ ,b ＝ c２－a２ ,c＝ a２＋b２ ; 　　(３)边、角之间的常用变 形:a＝c􀅰sinA,a＝b􀅰tanA, a＝c􀅰cosB,b＝c􀅰sinB,b＝ a􀅰tanB,b＝c􀅰cosA． 已知两边解直角三角形的方法 　　(１)已知两直角边:通常 先利用勾股定理求出斜边,再 利用两条直角边的比得到其 中一个锐角的正切值,从而求 出该锐角,最后利用直角三角 形两锐角互余的关系求出另 一个锐角． 　　(２)已 知 斜 边 和 一 直 角 边:通常先利用勾股定理求出 另一条直角边,再利用已知直 角边与斜边的比得到其中一 个锐角的正弦值(或余弦值), 从而求出该锐角,最后利用直 角三角形两锐角互余的关系 求出另一个锐角． ３．解直角三角形的基本类型及解法 图示 已知 类型 已知条件 方法与步骤 两边 斜边,一条直角 边(如c,a) (１)b＝ c２－a２ ; (２)由sinA＝ a c ,求∠A; (３)∠B＝９０°－∠A 两条直角边a,b (１)c＝ a２＋b２ ; (２)由tanA＝ a b ,求∠A; (３)∠B＝９０°－∠A 一边、 一角 (除直 角外) 斜边,一个锐角 (如c,∠A) (１)∠B＝９０°－∠A; (２)由sinA＝ a c ,得a＝ c􀅰sinA; (３)由 cosA ＝ b c ,得 b＝c􀅰cosA 一条直角边,一 个锐角 (如a, ∠A) (１)∠B＝９０°－∠A; (２)由 tan A ＝ a b , 得b＝ a tanA ; (３)由 sin A ＝ a c ,得 c＝ a sinA 已知直角三角形的两边解直角三角形 【例１】(１)在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,BC＝１２,AC＝ ４３,解这个直角三角形; (２)在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,∠A,∠B,∠C 所对的边 分别为a,b,c,a＝３１,c＝３１２,解这个直角三角形． 第二十八章　锐角三角函数 １１９　 思路分析 (１)用勾股定理可求出AB 的长．已知∠B 的对边和 邻边,先求出∠B 的正切值,从而得到∠B 的度数, 再利用直角三角形的两个锐角互余求出∠A 的度数． (２)用勾股定理可求另一直角边b．已知∠A 的对边和斜 边,先求出∠A 的正弦值,从而得到∠A 的度数,再利用 直角三角形中两锐角互余求出∠B 的度数． 解 (１)在Rt△ABC 中, AB＝ BC２＋AC２ ＝ １２２＋(４３) ２ ＝８３． 因为tanB＝ AC B