24.3 正多边形和圆-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

数学　九年级　上册 １８６　 ２４．３　正多边形和圆 􀅰初步认识正多边形与圆的关系,了解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等 概念． 􀅰理解正n(n≥３)边形的半径和边心距把正n 边形分成２n 个全等的直角三角 形,会进行正多边形的有关计算． 􀅰会运用等分圆周画圆内接正多边形的方法画出圆的内接正多边形． “各 边 相 等,各 角 相 等”是正多边形的两个基 本特 征,二 者 缺 一 不 可, 否则 多 边 形 就 不 是 正 多 边形．例如:菱形的各边相 等,但 各 角 不 一 定 相 等; 矩形的各角相等,但各边 不一定相等,所以它们都 不是正多边形． 任意多边形不一 定 有 外 接圆和内切圆,任意正多边形 都有一个外接圆和一个内切 圆,这两个圆是同心圆． 知识点一　正多边形及有关的概念 １．正多边形的概念 各边相等,各角也相等的多边形是正多边形． ２．正多边形与圆的关系 圆 分成n(n≥３)等份 依次连接各分点→圆内接正n 边形． 如图,正五边形ABCDE 是☉O 的内接 正五边形,☉O 是正五边形ABCDE 的 外接圆． ３．正多边形的有关概念 名称 定义 图示 中心 正多边形外接圆的圆心 半径 正多边形外接圆的半径 中心角 正多边形每一边所对的圆 心角 边心距 正多边形的中心到正多边 形的一边的距离 第二十四章　圆 １８７　 ４．与正多边形有关的计算公式 名称 公式 内角 正n 边形每个内角为 (n－２)􀅰１８０° n 中心角 正n 边形的每个中心角为 ３６０° n 外角 正n 边形的每个外角为 ３６０° n 边心距 正n 边形的边心距r＝ R２－ ( an ２ ) ２ (R 是半径,an 是边长) 周长 正n 边形的周长l＝nan(an 是边长) 面积 正n 边形的面积S＝ １ ２lr (l是正n 边形的周长,r是正n 边形的边心距) 【例１】求半径为６cm 的圆内接正四边形的边长、边心 距和面积． 解 连接OA,OB,作OE⊥AB 于点E,如 图所示． 因为四边形ABCD 是正四边形, 所以四边形ABCD 是正方形,∠AOB＝ ３６０° ４ ＝９０°． 又因为OA＝OB＝６cm, 所以AB＝ OA２＋OB２ ＝ ３６＋３６＝６ ２(cm),所 以四边形ABCD 的面积为６２×６２＝７２(cm２)． 因为OA＝OB,OE⊥AB, 所以OE 为AB 边上的中线． 因为∠AOB＝９０°, 所以OE＝ １ ２AB＝３２cm． 所以该正四边形的边长为６２cm,边心距为３２cm, 面积为７２cm２． 将圆 分 成n(n≥３) 等份,经过各分点作圆的 切线,以相邻切线的交点 为顶 点 的 多 边 形 称 为 圆 的外切正n 边形． 在解决与正多 边 形 有 关 的计算时,通过作正n 边形的 半径和边心距,把正n 边形分 成２n 个直角三角形,再利用 勾股定 理 等 知 识 解 决．如 图, 在Rt△OAM 中,OA２＝OM２＋ AM２,即R２＝r２＋ ( an ２ ) ２ ． 数学　九年级　上册 １８８　 (１)用量角器等分圆周作 法简单,易操作,但当边数较 多时,容易有较大的误差; (２)用尺规等分圆周的方 法较准确,但不能将圆周任意 等分,局限性较大,只限于一 些特殊的正多边形,例如:正 三角形、正四边形、正六边形、 正八边形． １．正八边形的画法 在正方形的基础 上 用 直 尺和圆规分别作与正方形相 邻两边垂直的直径,即可作正 八边形,如图所示． ２．正三角形的画法 在正六边形的基础上,选 择不相邻的三个顶点,顺次连 接,即可作正三角形,如图所示． 知识点二　正多边形的画法 　　要作半径为R 的正n 边形,只要把半径为R 的圆 周n 等分,然后顺次连接各分点即可． 关键 在同圆中,根据相等的圆心角所对的弧相等,将圆分成 n 等份 方法 用量角 器等分 圆周 首先用量角器画一个 ３６０° n 的圆心角,这个角所对的弧 就是圆周的 １ n ,然后在圆周 上依次截取与这条弧相等 的弧,就得到圆周的n 等 分点,顺次连接各分点,就 得到半径为R 的正n 边形 用尺规 等分 圆周 正 方 形 在☉O 中用直尺和圆 规作出两条相互垂直 的直径,将圆四等分, 顺次连接各分点,可作 出正方形 正 六 边 形 先画☉O 的任意一条 直径AB,再分别以点 A,B 为圆心,☉O 的 半径R 为半径画弧, 与 ☉O 相 交 于 点 C, D,E,F,顺次连接各 点, 得 正 六 边 形 ACEBFD 第二十四章　圆 １８９　 【例２】如图,用量角器等分圆周的方法,画 ☉O 的内接正十边形． 解 作法:(１)如图,作半径OA． (２)以点O 为顶点,OA 为一边,作∠AOB＝３６°,交 ☉O 于点B,连接AB． (３)以点B 为圆心,A