21.3 实际问题与一元二次方程-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

第二十一章　一元二次方程 ３１　 ２１．３　实际问题与一元二次方程 􀅰通过对实际问题中数量关系的探索,进一步体会“方程是刻画现实世界数量关 系的一个有效模型”,更好地体会方程的应用价值． 􀅰会分析实际问题中蕴含的数量关系,能列出一元二次方程解决实际问题,并检 验方程的解是否合理． 􀅰掌握利用一元二次方程解应用题的一般步骤． 知识点一　列一元二次方程解决实际问题的一般步骤 审→设→列→解→验→答．即: (１)审———审清题目的各量之间的关系; (２)设———恰当地设出未知数,可直接设也可间接设; (３)列———根据问题中的等量关系,列出方程;  (４)解———求出未知数的值; (５)验———检验 方程的解的正确性 及是否 符合实际 情况;   (６)答———写出应用题的答案． 【例１】某超市销售一种国产品牌台灯,平均每天可售出 １００盏,每盏台灯的利润为１２元．为了减少库存,超市 决定降价销售．据调查,每盏台灯每降价１元,平均每 天会多售出２０盏．若要实现每天销售获利１４００元, 则每盏台灯降价多少元? 解 设每盏台灯降价x 元,则每盏台灯的利润为(１２－ x)元,平均每天可售出(１００＋２０x)盏． 依题意,得(１２－x)(１００＋２０x)＝１４００． 整理,得x２－７x＋１０＝０,解得x１＝２,x２＝５． 因为要减少库存,所以取x＝５． 答:每盏台灯降价５元． “审”“验”不写,但很重要 (１)“审”一般不写出 来,但 它 很 重 要,只 有 审 清题 意,明 确 已 知 量、未 知量及它们之间的关系, 才能准确列出方程． (２)“验”一般只写出 验根后的结果即可,过程 可以不必详述,但此步骤 必不可少,一定要充分利 用题 目 中 的 条 件 把 不 合 题意的根舍去． 数学　九年级　上册 ３２　 (１)传播问题在实际生活 中普遍存在,有一定的模式, 要注意传播的基数、每轮传播 的人数以及轮数． (２)解决平均增长率(降 低率)问题的关键是准确理解 公式中各个量的含义,分清基 本量和变化后的量及变化(增 长或降低)的次数． (３)①当遇到不规则图形 时,要想办法把不规则图形分 割或补充成规则图形,找出各 部分面积或周长之间的关系, 再运用规则图形的面积或周 长公式列出方程进行求解． ②已知图形的面 积 列 一 元二次方程,除了要准确掌握 几何图形的面积、体积或周长 公式及计算方法外,关键是能 用未知数表示相关的长度,从 而列方程求解． (４)数字问题中的数的表 示要准确,不能忽略各数位上 的数字之间的进制关系,同时 要注意未知数所表示的数字 与其他数位上数字的关系． 　　(５)解答与销售利润有关 的问题时,要能准确用未知数 表示商品的销售量和销售利 润．此外,正 确 理 解 商 品 的 销 售量和销售利润之间的关系 是解答此类问题的关键． 列一元二次方程解决实际问题的四点注意 (１)注意挖掘题目中隐含的等量关系． (２)注意文字语言与数学语言之间的转化． (３)注意列方程时各量之间的单位要统一． (４)注意对求出的结果进行检验． 知识点二　列一元二次方程解决实际问题的常见题型 常见题型 公式 传播问题 若a 表示传播之前的人数,x 表示每轮每人传播的 人数,n 表示传播的轮数,b表示最终的总人数,则 a(１＋x)n＝b 平均增长 率(降低 率)问题 设增长(降低)的基数为a,每次的平均增长率(降低 率)为x,增长(降低)n次后的数量为b,则得增长率公 式:a(１＋x)n＝b(降低率公式:a(１－x)n＝b) 几何图形 问题 (１)面积公式:S矩形 ＝ab,S正方形 ＝a２,S圆 ＝πR２, S三角形 ＝ １ ２ab ; (２)体积公式:V长方体 ＝abh,V正方体 ＝a３,V圆柱 ＝ πR２h,V圆锥 ＝ １ ３πR ２h． 另外涉及的计算还有三角形的三边关系、三角形全 等、勾股定理、不规则图形求面积等 数字问题 (１)两位数＝十位上的数字×１０＋个位上的数字; (２)三位数＝百位上的数字×１００＋十位上的数字× １０＋个位上的数字 商品销售 利润问题 (１)利润＝售价－进价; (２)利润率＝ 利润 进价×１００％＝ 售价－进价 进价 ×１００％; (３)售价＝进价×(１＋利润率); (４)总利润＝每件利润×销售量＝总销售额－总 成本 第二十一章　一元二次方程 ３３　 【例２】某商场出售的电脑原价为５０００元/台,元旦期 间开展了促销活动,将原价经过两次下调后,促销价 为４０５０元/台． (１)求平均每次下调的百分率． (２)临近春节,该店决定推出力度更大的促销活动,按 (１)中的百分率第三次下调销售价．若该电脑的进货 价为３０００元/台,则此次促销中每台电脑的利润为 多少元? 解 (１)