21.2.1 配方法-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

第二十一章　一元二次方程 ７　 ２１．２　解一元二次方程 ２１．２．１　配方法 􀅰理解配方法,能用直接开平方法、配方法解一元二次方程． 􀅰理解一元二次方程“降次”———转化的数学思想,并能应用它解决一些具体 问题． 知识点一　直接开平方法   qr
   １．直接开平方法的根据及实质 一般地,利用平方根的意义,直接开平方求出一元二 次方程的解的方法,叫做直接开平方法． ２．方程x２＝p 的根的情况 p 的取值 方程x２＝p 的根的情况 p＞０ 有两个不相等的实数根:x１＝－ p,x２＝ p p＝０ 有两个相等的实数根:x１＝x２＝０ p＜０ 没有实数根 【例１】用直接开平方法解下列方程: (１)x２－１６＝０;(２)５x２－１２５＝０;(３)(x＋２)２＝３６． 解 (１)移项,得x２＝１６．由此可得x＝±４, 于是方程x２－１６＝０的两个根为x１＝４,x２＝－４． (２)移项,得５x２＝１２５． 二次项系数化为１,得x２＝２５．由此可得x＝±５, 于是方程５x２－１２５＝０的两个根为x１＝５,x２＝－５． (３)根据平方根的意义,得x＋２＝±６, 于是方程(x＋２)２＝３６的两个根为x１＝４,x２＝－８． (１)直接开平方法只 适用于解能转化为x２＝ p 或(mx＋n)２＝p(m≠ ０)的一元二次方程． (２)用直接开平方法 解一元二次方程时,要把方 程化成左边是含未知数的 完全平方式,右边是一个常 数p 的形式．只有当p 为 非负数时,方程才有解．当 p＞０时,要注意开方的结 果取“正、负”两种情况． 数学　九年级　上册 ８　 用配方法解一元 二 次 方 程,实质就是对一元二次方程 进行变形,转化为开平方所需 的形式．配 方 是 为 了 降 次,利 用平方根的定义把一个一元 二次方程转化成两个一元一 次方程来解． 配方时易出现的错误 (１)移项忘记变号． (２)系数化为１时漏项． (３)方程两边没有同时加 上一次项系数一半的平方． 　　１．移:把常数项移到 等号的右边． ２．化:把二次项系数 化为１． ３．配:在方程的两边 同时加上一次项系数一 半的平方． ４．开:利用直接开平 方法求出方程的解． 知识点二　配方法 a?abb a?b １．配方法:把一个一般形式的一元二次方程左边配成一 个含有未知数的完全平方式,右边是一个常数,进而 可用直接开平方法来解,这种通过配成完全平方形式 来解一元二次方程的方法叫做配方法． ２．方程(x＋n)２＝p 根的情况 一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋ n)２＝p 的形式,那么就有: p 的取值 方程(x＋n)２＝p 根的情况 p＞０ 有两个不等的实数根: x１＝－n－ p,x２＝－n＋ p p＝０ 有两个相等的实数根:x１＝x２＝－n p＜０ 没有实数根 【例２】用配方法解方程:２x２－x－１＝０． 解 移项,得２x２－x＝１． 二次项系数化为１,得x２－ １ ２x＝ １ ２． 配方,得x２－ １ ２x＋ ( － １ ４) ２ ＝ １ ２＋ ( － １ ４) ２, 即 (x－ １ ４) ２ ＝ ９ １６． ì î í ï ïï ï ïï 由此可得x－ １ ４＝ ３ ４ 或x－ １ ４＝－ ３ ４ , 所以x１＝１,x２＝－ １ ２． ì î í ï ï ï ï ïï 用配方法解一元二次方程的方法 用配方法解一元二次方程,当二次项系数是１ 时,将常数项移到方程右边后,方程的两边都加上一 次项系数一半的平方;当二次项系数不是１时,先根 据等式的性质,把二次项系数化为１,再配方求解． 第二十一章　一元二次方程 ９　 常考题型解读 题型一　用配方法解一元二次方程 【例１】用配方法解一元二次方程:２x２－５x＋１＝０． 思路分析 移项 → 化二次项系数为１→ 配方 → 直接开平方解方程 ． 解 移项,得２x２－５x＝－１． 二次项系数化为１,得x２－ ５ ２x＝－ １ ２． 配方,得x２－ ５ ２x＋ ( － ５ ４) ２ ＝－ １ ２＋ ( － ５ ４) ２ , 即 (x－ ５ ４) ２ ＝ １７ １６． 由此可得x－ ５ ４＝± １７ ４ , 所以x１＝ ５＋ １７ ４ ,x２＝ ５－ １７ ４ ． "> 抓住关键点,配方变简单 用配方法解一元二次方程的关键步骤是方程两 边同时加上一次项系数一半的平方．抓住此关键点, 配方显得更简单． 题型二　利用配方法求代数式的最大(小)值 【例２】试用配方法求２x２－４x＋５的最小值． 思路分析 先对代数式２x２－４x＋５进行配方,观察配方 后的形式,再根据a２≥０这一性质即可求解． 解２x２－４x＋５＝２(x２－２x＋ ５ ２) ＝２ (x－１)２＋３．