21.1 一元二次方程-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

１　 第二十一章　一元二次方程 ２１．１　一元二次方程 􀅰理解一元二次方程及有关概念,能把一元二次方程化成一般形式． 􀅰了解一元二次方程根的概念,会检验一个数是否为一元二次方程的根． 􀅰能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界 数量关系的一个有效数学模型． 知识点一　一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且 未知数的最高次数是２(二次)的方程,叫做一元二次 方程． 【例１】下列方程中,哪些是一元二次方程? (１)x２＝１;　　　　　　(２)－x２＋２x＝０; (３)y２－４y＋４＝０; (４)x＝１; (５)(y－１)２＝y２＋２; (６)x２－y＋２＝０; (７)x２－２x＋ ３ x＝０． 解 (１)移项,得x２－１＝０,是一元二次方程． (２)是一元二次方程．(３)是一元二次方程． (４)因为根号下含有未知数,不是整式方程,所以不是 一元二次方程．(５)整理,得２y＋１＝０,未知数的最高 次数是１,所以不是一元二次方程． (６)方程中含有x,y两个未知数,不是一元二次方程． (７)因为分母中含有未知数,不是整式方程,所以不是 一元二次方程．   

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 一个方程是一 元 二 次 方 程必须同时满足三个条件: 一元二次方程的概念 可利用口诀记忆 等号两边是整式, 化简整理右边０, 只含１个未知数, 最高次数是２次． 数学　九年级　上册 ２　 如果一个方程的 二 次 项 系数含有字母,必须注意只有 当这个字母的取值使二次项 系数不为０时,该方程才可能 是一元二次方程． 化一元二次方程为 一般形式的步骤 第１步:去分母; 第２步:去括号; 第３步:移项; 第４步:合并同类项． 知识点二　一元二次方程的一般形式 １．一元二次方程的一般形式及特点 (１)一般形式:任何一个关于x 的一元二次方程,经过 整理,都能化成一般形式: ax２＋bx＋c＝０(a,b,c是常数,a≠０)． (２)特点:方程左边为关于未知数的二次整式,右边为０． ２．一元二次方程的各项及其系数 ３．一元二次方程的特殊形式 a,b,c的取值 特殊形式 二次项 一次项 常数项 a≠０ b≠０,c＝０ ax２＋bx＝０ ax２ bx ０ b＝０,c≠０ ax２＋c＝０ ax２ ０ c b＝０,c＝０ ax２＝０ ax２ ０ ０ 【例２】将下列方程化为一般形式,并指出它的二次项系 数、一次项系数及常数项． (１)x２＝２x;　　　　　　(２)３y２＝４y＋５; (３)(x－１)２＝５(x＋１); (４) x２ ４－ x－１ ３ ＝２． 解 (１)移项,得一元二次方程的一般形式为x２－２x＝０, 其中二次项系数为１,一次项系数为－２,常数项为０． (２)移项,得一元二次方程的一般形式为３y２－４y－ ５＝０,其中二次项系数为３,一次项系数为－４,常数 项为－５． (３)去括号,得x２－２x＋１＝５x＋５,移项、合并同类 项,得一元二次方程的一般形式为x２－７x－４＝０,其 中二次项系数为１,一次项系数为－７,常数项为－４． (４)去分母,得３x２－４(x－１)＝２４,去括号、移项、合 并同类项,得一元二次方程的一般形式为３x２－４x－ ２０＝０,其中二次项系数为３,一次项系数为－４,常数 项为－２０． 第二十一章　一元二次方程 ３　 　　确定一元二次方程的各项及其系数, 三点注意莫忽视 (１)先把方程化为一般形式,如果二次项系数小 于０,一般把方程两边同乘－１,将其二次项系数转化 为大于０的数． (２)指出一元二次方程各项的系数时,注意带上 前面的符号,不要漏掉． (３)特例:若没有出现一次项bx,则b＝０;若没有 出现常数项,则c＝０． 知识点三　一元二次方程的解(根) 　一元二次方程的解(根): 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次 方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 【例３】判断x＝２,x＝４是不是一元二次方程２x２－３x＝ x＋１６的根． 解 把x＝２分别代入方程的左右两边,得左边＝２× ２２－３×２＝２,右边＝２＋１６＝１８,左边≠右边,所以 x＝２不是一元二次方程２x２－３x＝x＋１６的根; 把x＝４分别代入方程的左右两边,得左边＝２×４２－ ３×４＝２０,右边＝４＋１６＝２０,左边＝右边,所以x＝４ 是一元二次方程２x２－３x＝x＋１６的根． 判定一个数是不是一元二次 方程的根的妙招 (１)代:将已知数值代入一元二次方程． (２)看:看方程左右两边是否相等．若左右两边相 等,则这个数值是一元二次方程的根,若不相等,则这 个数值不是一元二次方程的根．