2023年南京大学强基计划数学试题

南京大学强基-2023 1.平分圆x2-2x+y2-4y=0的直线不经过第四象限，则斜率的范围是 2.己知x,y∈[0，，则x2+y2≤1且(x-1)2+(y-1)2≤1的概率是 3.在1,2,3,4,5中，有放回地取数字三次，则最小的数字为2的概率是一· 已知油gcg-l,则mB,心'B sin2Bcos2β sin2 a cos2a = .111 5。满足不定方程二+二=且x≤y的正整数解的组数是 xy30 6.已知实系数二次方程am2+hr+c=0的两根为a和B,且满足a是虚数，是实数， 则 7.已知a>0,b>0,x+y=c,则Vx2+a2+Vy2+b的最小值为 8.已知fm=∑(k2+3k+2,),则f000)=一 k 9.已知△4BC的三边为a,b,c,满足a2+b2+c2=a,a2b2+bc2+c2a2=B,则 △4BC的面积为· 10.记an表示n在三进制下的各数字之和，例如a,=3,a。=1,记 S={an|an=5,1≤n≤2023} 则= 试时间90分钟，以下为部分试题详细解析 1.平分x2-2x+y2-4y=0的直线不经过第四象限，求斜率的范围 答案：[0,2] 解：由题意可知直线经过圆心，此时 0≤k≤2 2.己知x,y∈[0,1]，则x2+y2≤1且(x-1)2+(y-1)2≤1的概率是 答案：分-1 解：由题意可知 1 3.在1,2,3,4,5当中，有放回的取数字三次，最小的数字为2的概率是 答案：西 解：情形一：三个位置全部都是2时，此时有1种 情形二：三个位置中有两个位置是2时，此时有3C=9种 情形三：三个位置种有一个位置是2时，此时有9C3=27种 则 p-1+890- 125 4品治+号-1，期密2+2 c0s26 sin'a cos"a 答案：1 解：由柯西不等式可知 sina cosa sin c0s2 =1盒9+- 当sin2a- cos'a V2 IsinB 时，等号成立，此时 cosB 2 sin2a=v2 IsinBl,cos2a= -Icos B1 则 V2 2 (sn1+1os0=1→ml+1os=V2→15血8cs1=号 于是 sinBco(Isin Icos) sin'a cos'a =V2(IsinB+cosB1)(sin2B+cos28-Isin 3cosB1) =V2×v2×1-)=1 5满足不定方程上+号动，且z≤，的正整数解的组数 答案：14 解：由题意可知 1+1=1 立=30÷(x-30)(g-30)=900 而 900=32×52×22 则 x-30=1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,25,30,共14组解。 6.已知实系数方程az2+bz+c=0的两根a和B,且满足a是虚数， 是实数，则号 答案：1土V3i 2 解：设a=rcosa+rsina,B=rcos(2r-a)+irsin(2r-a),此时 a2 =rcos3a+irsin3a 又a为虚数，且为实数，则 3a=k标→a=经(keZ且k+3m,m∈z) 3 此时 =cos2a+isin2a=-1+v3i 2 7.已知a>0,b>0,x+y=c,则Vx2+a2+Vg2+2的最小值 答案：V(a+b)2+c 解：由柯西不等式可知 Vz2+a2+Vy2+82>V(x+y)2+(a+6)2=V(a+b)2+c2 当且仅当号公时即g=。6,g=6时，等号成立 &-2+张+2，小.求00 答案：1136 解：100的因数有1,2,4,5,10,20,25,50,100，又 m=k2+3k+2=(k+1)(k+2) 则 m一定为偶数 此时 (k2+3k+2,100)一定为偶数 于是 (k2+3k+2,100)∈{2,4,10,20,50,100} 此时 (k2+3k+2,100)=2有32个，(k2+3k+2,100)=4有28个 (k2+3k+2,100)=10有17个，(k2+3+2,100)=20有17个 (k2+3k+2,100)=50有3个，(k2+3k+2,100)=100有3个 则 f(100)=2×32+4×28+10×17+20×17+50×3+100×3=1136 9.三角形的三边记为a,b,c,满足a2+b2+c2=a,a2b2+b2c2+c2a2=3,求三角形面 积 答案：VB-受 解：由题意可知 absinC= 2abv1-cosC @+乎-6w- a2+b2-c2)7 4a202 而 a2+b2=a-c2,a2b2+c2(a-c2)=6→a2b2=6-c2(a-c2) 此时 9-VB-ea-e-a-0-B-号 10.用an表示n在三进制下的各数字之和，例如a,=3,a=1,记 S={alan=5,1≤n≤2023} 求S 答案：265 解：由题意可知 2