4.4 探索三角形相似的条件＆4.5 相似三角形判定定理的证明-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

数学　九年级　上册 １３８　 0  0 M  > M M  > M４　探索三角形相似的条件 ∗５　相似三角形判定定理的证明M  > M M  > M 相似三角形的三个特性 (１)对应性:在记两个三角形相 似时,注意对应点的位置要一 致,即 若 △ABC∽△A′B′C′, 则说 明 点 A 的 对 应 点 是 点 A′,点B 的对应点是点B′,点 C 的对应点是点C′． (２)顺序性:相似三角形的相 似 比 是 有 顺 序 的．若 △ABC 与△A′B′C′相似,则“△ABC 与 △A′B′C′的 相 似 比 ”与 “△A′B′C′与 △ABC 的 相 似 比”互为倒数． (３)传递性:根据相似三角形 的 概 念,可 知 若 △ABC ∽ △A′B′C′,△A′B′C′∽△A″B″C″, 则△ABC∽ △A″B″C″,即 相 似三角形具有传递性． 0> ,U ,> 0U 知识点一　相似三角形的概念 １．相似三角形 定义 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似 三角形 基本 图形 B A C　 A′ C′B′ 符号 表示 在△ABC 和△A′B′C′中,如果∠A＝∠A′,∠B＝ ∠B′,∠C＝ ∠C′, AB A′B′＝ AC A′C′＝ BC B′C′＝k ,那么 △ABC∽△A′B′C′,k为它们的相似比 ２．相似三角形与全等三角形的比较 两个三角形 形状 大小 对应边 对应角 符号 相似比 全等三角形 相似三角形 相同 相等 不一定 相等 相等 成比例 相等 ≌ ∽ k＝１ k为正 实数 A D CB E 【例１】如图,若△ABC∽△ADE,试写 出图中的对应角和对应边． 解 对 应 角 有 ∠A 与 ∠A,∠B 与 ∠ADE,∠C 与∠AED; 对应边有AB 与AD,AC 与AE,BC 与DE． 第四章　图形的相似 １３９　 0  0 确定两个相似三角形中的对应关系的两种方法 (１)根据表示方法“△ABC∽△ADE”确定对应关系． (２)结合图形,公共角、对顶角都是对应角,由此可再 确定其他对应关系． 知识点二　相似三角形的判定定理１ 内容 两角分别相等的两个三角形相似 基本 图形 B A C　　 A′ C′B′ 符号 表示 在△ABC 和 △A′B′C′中,如果 ∠A ＝ ∠A′,∠B＝ ∠B′,那么△ABC∽△A′B′C′  相似三角形的五大基本图形 (１)正“A”字型:如图①所示,若∠ADE＝∠B,则有 △ADE∽△ABC． (２)斜“A”字型:如图②所示,若∠CDE＝∠A,则有 △CDE∽△CAB． (３)母子型:如图③所示,若∠CDA＝∠CAB,则有 △CAD∽△CBA． (４)正 “８”字 型:如 图 ④ 所 示,若 ∠A ＝ ∠C,则 有 △OAB∽△OCD． (５)斜 “８”字 型:如 图 ⑤ 所 示,若 ∠E ＝ ∠B,则 有 △AED∽△ABC． A B C D E 图① 　A B C D E 图② 　A B C D 图③ 　 A B CD O 图④ 　 A B C DE 图⑤ A B C DE 【例２】如图,在△ABC 中,∠ABC＝８０°, ∠BAC＝４０°,AB 的垂直平分线分别与 AC,AB 相交于点D,E,连接BD,求证: △ABC∽△BDC． 根据相似三角 形 的 判 定 定理１可以得出以下结论: (１)在两个直角三角形中,如 果有一组锐角相等,那么这两 个直角三角形相似． (２)在两个等腰三角形中,如 果顶角或一个底角对应相等, 那么这两个等腰三角形相似． *=3U6 3,>U -EE U 　　 利 用 判 定 定 理 １ 证 明两 个 三 角 形 相 似 的 关 键是找相等的角,如公共 角、对 顶 角、同 角 (等 角) 的余 角(补 角)等 都 是 相 等的角,解题时要注意挖 掘题目中的隐含条件． 数学　九年级　上册 １４０　 0  0 应用判定定理２时应 具备的两个条件:(１)两组 对应边的比相等;(２)两组 对应边的夹角相等． 根据相似三角形 的 判 定 定理２可知:在两个直角三角 形中,若 两 组 直 角 边 的 比 相 等,则 这 两 个 直 角 三 角 形 相似． AD!U >,0+> ,U   E U @JU,0+>M !+D+ >@U>U a a b b 30° 30° 30° 证明 因为DE 是AB 的垂直平分线,所以AD＝BD． 因为∠BAC＝４０°, 所以∠ABD＝４０°． 因为∠ABC＝８０°, 所以∠DBC＝４０°, 所以∠DBC＝∠BAC． 又因为∠C＝∠C,→∠C 是公共角． 所以△ABC∽△BDC． 知识点三