4.2 平行线分线段成比例-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

第四章　图形的相似 １２５　 0  0 ２　平行线分线段成比例 M > M 知识点一　平行线分线段成比例的基本事实 １．基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段 成比例． ２．符号表示:如图①②③,在l１∥l２∥l３的条件下,可分 别推出下面共同的结论: (１) AB BC＝ DE EF ,简称“上比下”等于“上比下”． (２) BC AB＝ EF DE ,简称“下比上”等于“下比上”．  qr (３) AB AC＝ DE DF ,简称“上比全”等于“上比全”． (４) BC AC＝ EF DF ,简称“下比全”等于“下比全”． l1 l4 l5 l2 l3 A B C D E F 图① 　 l1 l4 l5 l2 l3 A B C D E F 图② 　 l1 l4 l5 l2 l3 A B C (D) E F 图③ l1 l2 A B C D E F 【例１】如图,AD∥BE∥CF,直线l１,l２ 与这三条平行线分别交于点A,B,C 和点D,E,F．已知AB＝１,DE＝１．２, BC＝２,则EF 的长为 (　　) A．２．４　　　　　　　　B．３．６ C．４ D．０．６ 解析 因为AD∥BE∥CF,所以 AB BC＝ DE EF． 因为AB＝１,DE＝１．２,BC＝２, 所以 １ ２＝ １．２ EF ,解得EF＝２．４．故选 A． 答案 A (１)所有的成比例线段是 指两 条 被 截 直 线 上 的 线 段,与这组平行线上的线 段无关． (２)在应用平行线分线段 成比 例 的 基 本 事 实 得 到 的比例式中,四条线段与 两直线的交点位置无关． 　　利用平行线分线段成比 例的基本事实求线段的长度 时,首先要分清哪些线段是对 应线段,将已知线段与待求线 段之间建立比例式联系起来 是关键． 数学　九年级　上册 １２６　 0  0   > M (１)平行于三角形一边的直线 截其他两边的延长线所得的对 应线段也成比例,如图①②． A CB D E 图① C A DE B 图② (２)平行线分线段成比例的基 本事实及其推论中的基本图 形均可 称 为 “A”字 型 和 “X” 字型． 知识点二　平行线分线段成比例的基本事实的推论 １．推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截 得的对应线段成比例．     
  A B C D E ２．符号表示:如图所示,在△ABC 中, DE∥BC,DE 分别与AB,AC 交于 点D,E,则有 AD BD＝ AE CE ,AD AB＝ AE AC , BD AB＝ CE AC． A B C D E 【例２】如图,已知点 D 为△ABC 边 AB 上一点,AD∶AB＝２∶３,过点 D 作BC 的平行线交AC 于点E,若 AE＝６,则EC 的长度是 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ qr qr解析 因为DE∥BC,所以 AD AB＝ AE AC , 所以 ２ ３＝ ６ AC ,所以AC＝９, 所以EC＝AC－AE＝９－６＝３． 答案 C 常考题型解读 １．如图,直线l１∥l２∥l３,直线 AC 和DF 被l１,l２,l３所截, 如果AB＝２,BC＝３,EF＝ ２,那么DE 的长是 (　　) l3 l1 l2 A B C D E F A．２　 B． ４ ３　 C．１　 D． ３ ４ 题型一　 运用平行线分线段成比例的基本事实进 行计算 l1 l2 A B C D E F 【例１】如图,已知AB∥CD∥EF,它们依次 交直线l１,l２于点A,D,F 和点B,C,E,如 果AD＝６,DF＝３,BC＝５,求BE 的长． 思路分析 根据平行线分线段成比例的基本 事实,列出比例式求解． 解 因为AB∥CD∥EF, 第四章　图形的相似 １２７　 0  0 所以 AD DF＝ BC CE ,即６ ３＝ ５ CE , 解得CE＝２．５, 所以BE＝BC＋CE＝５＋２．５＝７．５． "> 运用平行线分线段成比例的基本事实求线段长的方法 先确定图形中的平行线,由此联想到被一组平行 线截得的线段间的比例关系,结合待求线段和已知线 段,写出一个含有它们的比例式,构造出方程,解方程 求出待求线段的长． 题型二　 平行线分线段成比例的基本事实的推论 的应用 利用推论求线段的长 A B C D E 【例２】如图,在△ABC 中,DE∥BC,若 AE＝３,EC＝２,AD－DB＝ ４ ３ ,求AB 的长． 思路分析 根据平行线分线段成比例的基 本事实的推论,列出比例式求AD DB 的值,再结合AD－ DB＝ ４ ３ 求出AD,DB 的值即可求AB 的长． 解 因为DE∥BC,所以 AD DB＝ A