2.5 一元二次方程的根与系数的关系-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

数学　九年级　上册 ７０　 0  0 ∗５　一元二次方程的根与系数的关系 M > M   > M "6 
U
U  + U x1 x2 x1 x2 　　由于二次项系数为“１”的 方程可以化简成x２＋px＋q＝ ０的形式,所以当方程有两个 根 x１,x２ 时,一 定 有 p ＝ －(x１＋x２),q＝x１􀅰x２,即 x１＋x２＝－p,x１􀅰x２＝q．进 一步说明已知x１,x２,p,q 这 四个量中的任何两个,都能确 定另外两个,利用这种关系可 以解答相关的问题． 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 １．根与系数的关系 如果一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)有两个实 数根x１,x２,那么x１＋x２＝－ b a ,x１x２＝ c a． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)使用此法则进行计算时,要注意先把一元 二次方程化成一般形式,同时注意各项的符号． (２)只 有 在 一 元 二 次 方 程 有 实 数 根,即 Δ＝b２－ ４ac≥０的前提下才有这个结论． ２．根与系数的关系的推导过程 如果一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)有两个实 数根,设这两个实数根分别为x１,x２． 由求根公式,得x＝ －b± b２－４ac ２a (b２－４ac≥０), 即x１＝ －b＋ b２－４ac ２a ,x２＝ －b－ b２－４ac ２a ． 所以x１＋x２＝ －b＋ b２－４ac ２a ＋ －b－ b２－４ac ２a ＝－ b a , x１x２＝ －b＋ b２－４ac ２a 􀅰－b－ b ２－４ac ２a ＝ c a． 【例】若x１,x２是方程x２－２x－３＝０的两根,则x１＋ x２＋x１x２＝　　　　． 解析 因为x１,x２是方程x２－２x－３＝０的两根, 所以x１＋x２＝２,x１x２＝－３, 所以x１＋x２＋x１x２＝２－３＝－１． 答案 －１ 第二章　一元二次方程 ７１　 0  0 常考题型解读 题型一　一元二次方程根与系数关系的应用 利用根与系数的关系求代数式的值 【例１】已知x１,x２是一元二次方程２x２－２x－３＝０的 两个根,求x１x２＋x２１＋x２的值． 思路分析 将待求式转化为含有“x１＋x２”和“x１x２”的 式子,从而利用根与系数的关系求解． 解 因为x１,x２是一元二次方程２x２－２x－３＝０的两 个根,    所以x１＋x２＝１, 所以x１x２＋x２１＋x２＝x１(x１＋x２)＋x２＝x１＋x２＝１． 熟悉常见变形,巧解代数式求值 解决此类问题首先要求出两根之和与两根之积 的值,再把要求值的代数式进行恒等变形,转化为用 两根之和与两根之积表示的形式,最后代入求值．与 两根有关的几种常见代数式的变形如下: (１)x２１＋x２２＝(x１＋x２)２－２x１x２; (２) １ x１ ＋ １ x２ ＝ x１＋x２ x１x２ ; (３)(x１－x２)２＝(x１＋x２)２－４x１x２; (４)|x１－x２|＝ (x１－x２)２ ＝ (x１＋x２)２－４x１x２; (５)(x１＋a)(x２＋a)＝x１x２＋a(x１＋x２)＋a２． 已知一根求另一根和待定系数的值 【例２】已知关于x 的一元二次方程mx２－(m－４)x－ ２m＝０的一个根是１,求m 的值及另一个根． 思路分析 思路１:先将x１＝１代入方程求出m 的值,再 解一元二次方程得出另一根． １．已 知 一 元 二 次 方 程 x２ － ５x＋ １ ２＝０ 的两个根为a, b,求下列各式的值． (１) a b＋ b a ; (２)a２＋ ５b＋ ３ ２． 数学　九年级　上册 ７２　 0  0 ２．若关于x 的一元二次方程 x２－bx＋２＝０有一个根是 x＝１,求b的值及方程的另 一个根． ３．关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x２＋２mx＋m２ ＋m ＝０ 有 两个不相等的实数根． (１)求m 的取值范围． (２)设 x１,x２ 是 方 程 的 两 根,且 x２１ ＋x２２ ＝１２,求 m 的值． 思路２:根据x１x２＝ c a 求出另一根,将x１＝１代入方 程求出m 的值． 解 解法一 将x１＝１代入方程得m－(m－４)－２m＝０, 解得m＝２． 当m＝２时,方程为x２＋x－２＝０, 解得x１＝１,x２＝－２, 所以m 的值为２,另一根为－２． 解法二 将x１＝１代入方程得m－(m－４)－２m＝０, 解得m＝２