2.1 认识一元二次方程-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

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 第二章　一元二次方程 １　认识一元二次方程 M > M 　　整式方程应理解为未化 简(没有进行去分母、去括号、 移项和合并同类项等)时,方 程两边均是整式;“只含有一 个未知数,未知数的最高次数 是２”是对方程整理合并后而 言的． ?M 判断一元二次方程的方法 知识点一　一元二次方程的定义 只含有一个未知数x 的整式方程,并且可以化成ax２＋ bx＋c＝０(a,b,c为常数,a≠０)的形式,这样的方程叫 做一元二次方程． a?0
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:一元二次方程必须同时满足三个条件 (１)是整式方程(方程中如果有分母,那么分母中不含 未知数); (２)只含有一个未知数; (３)未知数的最高次数是２． 【例１】下列方程中,哪些一定是一元二次方程? ①３x２＋ １ x－２＝０ ;　② ３x２－ ２ ４x－ １ ２＝０ ; ③x２＝６;　④x２－xy＋１＝０;　⑤－２x２＝０; ⑥２x２＋２x＝５＋２x２． 解 ①中分母含有未知数,不是整式方程,所以它不是 一元二次方程; ②中只含有一个未知数,且未知数x 的最高次数是 ２,是整式方程,符合一元二次方程的特征,是一元二 次方程; ③整理,得x２－６＝０,是一元二次方程; ④中含有x,y两个未知数,所以它不是一元二次方程; ⑤是一元二次方程; ⑥整理,得２x－５＝０,未知数的最高次数是１,所以它 不是一元二次方程． 综上所述,②③⑤一定是一元二次方程． 第二章　一元二次方程 ４１　 0  0 知识点二　一元二次方程的一般形式 １．一元二次方程的一般形式及特点 任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化 成一般形式:ax２＋bx＋c＝０(a,b,c为常数,a≠０)．   x 0 a 0
  ２．一元二次方程的各项及其系数 ３．一元二次方程的特殊形式 一元二次方程的特殊形式 b,c的取值 ax２＋bx＝０(a≠０) c＝０ ax２＋c＝０(a≠０) b＝０ ax２＝０(a≠０) b＝０,c＝０ 【例２】将下列方程化为一般形式,并指出它的二次项系 数、一次项系数及常数项． (１)x２＝２x;(２)３y２＝４y＋５; (３)(x－１)２＝５(x＋１);(４) x２ ４－ x－１ ３ ＝２． 解 (１)移项,得一元二次方程的一般形式x２－２x＝０． 其中二次项系数为１,一次项系数为－２,常数项为０． (２)移项,得一元二次方程的一般形式３y２－４y－ ５＝０． 其中二次项系数为３,一次项系数为－４,常数项为－５． (３)去括号,得x２－２x＋１＝５x＋５． 移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式x２－ ７x－４＝０． 其中二次项系数是１,一次项系数是－７,常数项是－４． (４)去分母,得３x２－４(x－１)＝２４． 去括号、移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形 式３x２－４x－２０＝０． 其中二次项系数为３,一次项系数为－４,常数项为－２０．   > M 　　一元二次方程的一般形 式不是唯一的,但习惯上都把 二次项系数化为正整数． ?M 化一元二次方程为 一般形式的一般步骤 第１步:去分母; 第２步:去括号; 第３步:移项; 第４步:合并同类项． 数学　九年级　上册 ４２　 0  0 " 　　 建 立 一 元 二 次 方 程 模型解决实际问题时,既 要根 据 题 目 条 件 中 给 出 的等量关系,又要抓住题 目中 隐 含 的 一 些 常 用 关 系式(如 面 积 公 式、体 积 公式、利 润 公 式 等)进 行 列方程．  
  知识点三　列一元二次方程 根据题意列一元二次方程的步骤: 第１步:审题,找未知量与已知量; 第２步:设合适的未知数; 第３步:根据等量关系列一元二次方程． 【例３】如图所示,现有一张长为１９cm, 宽为１５cm 的长方形纸片,需要在四个 角剪去边长是多少的小正方形,才能将 其做成底面积为８１cm２ 的无盖长方体 纸盒? 请根据题意列出方程． 解 设需要剪去的小正方形的边长为xcm,则盒子底 面长方形长为(１９－２x)cm,宽为(１５－２x)cm． 根据题意,得(１９－２x)(１５－２x)＝８１． 整理,得x２－１７x＋５１＝０． 4 　巧设未