1.2 矩形的性质与判定-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

第一章　特殊平行四边形 １３　 0  0 ２　矩形的性质与判定 M  > M M  > M 知识点一　矩形的定义 １．定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．   　２．图解 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)矩形的定义既是矩形的性质,也是矩形的 判定方法． (２)矩形是特殊的平行四边形,特殊在角上,即当平 行四边形中有一个角变为直角时,平行四边形便成 了矩形． 【例１】如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 是AD, BF 的中点,AB＝AC．求证:四边形ADCF 是矩形． 证明 因为D 是BC 的中点,E 是BF 的中点, 所以DE 是△BCF 的中位线,    所以DE∥FC,DE＝ １ ２FC． 因为E 是AD 的中点, 所以DE＝ １ ２AD , 所以AD＝FC, 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋所以四边形ADCF 是平行四边形． 又因为D 是BC 的中点,AB＝AC, 所以AD⊥BC,即∠ADC＝９０°, 所以▱ADCF 是矩形． 􀜛→ 先判定为平行 四边形，再根 据矩形的定义 进行判定． 生活中处处都有矩形,你发现 了吗? 　　 当 已 知 四 边 形 有 一 个角是直角时,只要说明 这个 四 边 形 是 平 行 四 边 形,就可以证明这个四边 形是矩形．不要错误地理 解为 有 一 个 角 是 直 角 的 四边形是矩形． 数学　九年级　上册 １４　 0  0 (１)利用矩形的性质可以 证明 线 段 之 间 的 相 等 关 系或 倍 分 关 系、角 相 等、 线段之间的平行或垂直, 还可以计算角的度数． (２)因为矩形的四个角都 是直角,所以常把有关问 题转 化 为 熟 悉 的 直 角 三 角形问题,同时矩形被两 条对 角 线 分 成 两 对 全 等 的等腰三角形,所以解决 问题 时 也 常 用 到 等 腰 三 角形的性质． 线段相等新证法 矩形的对角线相 等 且 互 相平分,这给我们提供了证明 线段相等的新方法．当证明两 条线段相等时,可通过等量代 换将两条线段转化为某个四 边形的对角线,只要我们证明 该四边形为矩形,就能得出线 段相等． 知识点二　矩形的性质   > M １．矩形的性质定理 图形 性质 数学表示 矩形的四个角 都是直角 因为四边形 ABCD 是矩 形,所以∠BAD＝∠ABC＝ ∠BCD＝∠ADC＝９０° 矩形的对角线 相等 因为四边形 ABCD 是矩 形,所以AC＝BD ２．矩形的性质汇总 矩形是特殊的平行四边形,所以既具有平行四边形的 所有性质,又具有自己单独的性质,总结如下: 性 质 边:对边平行且相等 角:四个角都是直角 对角线:相等且互相平分 对称性 是轴对称图形,过每组对边中点的直线是 其对称轴 是中心对称图形,对角线的交点是对称中心 ì î í ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ïï 【例２】如图,已知四边形ABCD 为矩形,AE∥BD,且 交CB 的延长线于点E．求证:AE＝AC． 证明 解法一 因为四边形ABCD 是矩形, 所以AC＝BD,AD∥BC． 因为AE∥BD, 所以四边形AEBD 是平行四边形, 所以AE＝BD, 所以AE＝AC． ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ïï 解法二 因为四边形ABCD 是矩形, 所以AC＝BD,OB＝OC,所以∠OBC＝∠OCB． 又因为AE∥BD,所以∠E＝∠OBC, 所以∠E＝∠OCB． 所以AE＝AC． 第一章　特殊平行四边形 １５　 0  0 知识点三　直角三角形斜边上中线的性质 性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【例３】如图,BE,CF 是△ABC 的两条 高,M 为BC 的中点,EF＝５,BC＝８, 求△EFM 的周长． 解 因为BE,CF 是△ABC 的两条高, M 为BC 的中点,BC＝８, 所以在Rt△BCE 中,EM＝ １ ２BC＝４ , 在Rt△BCF 中,FM＝ １ ２BC＝４． 又因为EF＝５,所以△EFM 的周长为EM ＋FM ＋ EF＝４＋４＋５＝１３． 4 　　解答本题的关键是利