2.7 二次根式-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

第二章　实　数 ５９　 0  0 ７　二次根式 􀅰了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式化为最简二次根式． 􀅰掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则． 􀅰会进行二次根式的简单四则运算,并能解决简单的实际问题． M  > M 



 知识点一　二次根式的概念和成立的条件 　 定义 有关概念 实质 有意义的条件 形如 a (a≥ ０)的式子叫做 二次根式 其中“ 　 ”称 为 “二 次 根 号”,a 叫做被 开方数 二次根式 实质是一 个数的算 术平方根 被 开 方 数 为 非负数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)二次根式的概念是从代数式的结构形式 上界定的,必须含有二次根号“ 　”． (２)开立方运算的式子不是二次根式． (３)在具体问题中,如果已知二次根式 a,就意味着 给出了a≥０这一隐含条件． 【例１】判断下列各式是不是二次根式: (１) －a２－９;(２)a２＋１;(３)x＋５(x 为实数); (４) (a－２)２ ;(５)３－a． 解 (１)因为－a２－９＜０, 所以 －a２－９不是二次根式． (２)因为a２＋１＞０, 所以 a２＋１是二次根式． (３)当x＝－７时,x＋５＝－２＜０, 所以 x＋５(x 为实数)不是二次根式． 二次根式的被 开 方 数 为 非负数． 二次根式记两条, 二次根号不能少, 被开方数是非负, 二者缺一都不可． 数学　八年级　上册 ６０　 0  0 (１)在二次根式 a中,被开 方数a 可以是数,也可以 是含有字母的代数式,但 其中字母的取值必须使代 数式的值是一个非负数． (２)当根号前的数是带分 数时,必须化成假分数． (３)当根号前的数是小数 时,必须化成分数． 利用此公式进行化简时, 被开方数一定要化成乘积的 形 式,避 免 出 现 a＋b ＝ a＋ b的错误． 　(４)因为(a－２)２≥０, 所以 (a－２)２ 是二次根式． (５)因为３－a的根指数是３, 所以３－a不是二次根式． 判断是否为二次根式的关键 关键是看所给的式子是否同时具备二次根式的 两个特征: (１)含有二次根号“ 　”; (２)被开方数是非负数(正数或０)． 只有同时满足这两个特征,才是二次根式． 知识点二　积的算术平方根的性质 　 符号语言 ab＝ a􀅰 b(a≥０,b≥０) 文字语言 积的算术平方根等于积中各因数或因式的算 术平方根的积 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)要使 ab有意义,则被开方数ab≥０．因此, a 与b同号或至少有一个为零． (２)利用此性质可以化简二次根式,即如果一个二次 根式的被开方数中的因数或因式是某个数的平方或 完全平方式,则可以利用性质 ab＝ a􀅰 b(a≥０, b≥０)及 a２＝a(a≥０)将这些因数或因式开方,从而 将二次根式化简． 【例２】计算: (１)４×８１;(２) (－５)×(－４５);(３)２３２－１３２． 解 (１)４×８１＝ ４× ８１＝２×９＝１８． (２) (－５)×(－４５)＝ ５×４５＝ ５２×３２ ＝ ５２ × ３２ ＝５×３＝１５． (３)２３２－１３２ ＝ (２３＋１３)×(２３－１３)＝ ３６×１０＝ ３６× １０＝６ １０． 第二章　实　数 ６１　 0  0 　　利用积的算术平方根的性质进行二次根式化简 的关键是将被开方数写成几个因数(或因式)相乘的 形式,把能开得尽方的因数(或因式)移到根号外面． 知识点三　商的算术平方根的性质 符号语言 a b ＝ a b (a≥０,b＞０) 文字语言 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除 以除式的算术平方根 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋�