专题1.7 截一个几何体（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.7 截一个几何体（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点】几何体的截面 1、 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面； 2、 正方体常见截面形状如下图： 【例1】如图所示，把一个底面半径是5cm，高是8cm的圆柱放在水平桌面上． (1) 若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是 　 　； (2) 若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是 　 　； (3) 若用一个平面去截这个圆柱，使截得的截面是长方形且长方形的截面面积最大，请写出截法，并求出此时截面面积． 【答案】(1)圆； (2)长方形；(3)当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，80cm2 【分析】（1）根据截的方向可得截面形状；（2）根据截的方向可得截面形状；（3）当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，再根据截面形状求面积即可． （1）解：若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是圆； 故答案为：圆； （2）若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是长方形； 故答案为：长方形； （3）当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大， 此时截面的面积为：5×2×8＝80（cm2）． 【点拨】本题考查用一个平面去截几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 【变式】用一个平面截一个几何体，所截出的面出现了如图所示的四种形式，试猜想，该几何体可能是___． 【答案】圆柱 【分析】根据截面图可知，有圆形和长方形，则该几何体为圆柱． 解答：平面倾斜竖截圆柱侧面和底面可得图①，平面倾斜竖截圆柱侧面截圆柱可得图②，平面经过两个底面截圆柱可得图③，平面平行与底面截圆柱可得图④， 故该几何体可能是圆柱． 【点拨】本题考查了由平面截几何体得到的平面图形猜测几何体的形状，根据截面为长方形和圆得到几何体是圆柱是解题的关键． 【题型一】根据截面判断几何体的形状 【例1】一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的(      )              A．圆柱和圆锥 B．球体和圆锥 C．球体和圆柱 D．正方体和圆锥 【答案】C 【分析】观察题目，每个选项中都有圆锥，而圆锥的截面可能是三角形，故可以判断A、B、D；根据圆柱的截面可能是圆，长方形，不会是三角形，球体的截面永远是圆对C选项进行判断. 解：圆柱的截面可能是圆，长方形，不会是三角形，球体的截面永远是圆，也不会是三角形. 故选C． 【点拨】本题主要考查的是几何体的有关知识，熟练掌握常见几何体截面的形状是解答本题的关键. 【变式】用一个平面去截一个几何体，能截出如图所示的四种平面图形，则这个几何体可能是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球 【答案】A 【分析】用平面截圆锥，得到的截面是圆、椭圆或者三角形等，不可能是四边形，用平面截球体，得到的截面始终是圆形；用平面截长方体，得到的截面是三角形，长方形等；接下来，用平面截圆柱，对得到的截面进行分析，即可得到答案. 解:∵圆柱体的主视图只有矩形或圆， ∴圆柱体的主视图符合题意． 故选A． 【点拨】此题考查截一个几何体，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键. 【题型二】根据截面判断几何体的内部结构 【例2】一个物体的外形是长方体，其内部构造不详．用一组水平的平面截这个物体时，得到了一组（自下而上）截面，截面形状如图所示，这个长方体的内部构造可能是（   ） A．圆柱 B．棱柱 C．棱锥 D．圆锥 【答案】D 【分析】通过观察可以发现：在长方体内部的三角形自下而上由大圆逐渐变成小圆、最后变成点，由此判定即可． 解：∵通过观察可以发现：在正方体内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆、最后变成点， ∴这个长方体的内部构造可能是圆锥，故D正确． 故选：D． 【点拨】由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆的思维过程，要根据所给截面形状仔细分析，展开想象． 【变式1】一个物体的外形是长方体，其内部构造不详．用5个水平的平面纵向平均截这个物体时，得到了一组（自下而上）截面，截面形状如图所示，这个长方体的内部构造可能是（　　） A．球体 B．圆柱 C．圆锥 D．球体或圆锥 【答案】C 解：选项A,球体截完是圆，由小变大，再变小,A不符合题意； 选项B,圆柱截完都是等圆，B不符合题意； 选项C,圆锥是由小变大，或者由大变小.C符合题意； 选项D，由A可知不符合题意. 故选C. 【变式2】一个物体的外形是长方体，其内部构造不详．用一组水平的平面截这个物体时，得到了一组（自下而上）截面，截面形状如图所示，这个长方体的内部构造可能是______．