第05讲 空间向量基本定理（四大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第05讲 空间向量基本定理 【题型归纳目录】 题型一：基底的判断 题型二：基底的运用 题型三：正交分解 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 【知识点梳理】 知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 知识点2：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【典例例题】 题型一：基底的判断 例1．（2023·河南省直辖县级单位·高二统考期末）若、、构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 例2．（2023·高二校考课时练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（   ） A． B． C． D． 例3．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 例4．（2023·江苏连云港·高二江苏省新海高级中学校考阶段练习）若是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 例5．（2023·辽宁·高二校联考期末）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 题型二：基底的运用 例6．（2023·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 例7．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 例8．（2023·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（    ）      A． B． C． D． 例9．（2023·高二单元测试）在平行六面体中，设，，，则以为基底表示（    ） A． B． C． D． 例10．（2023·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）如图，在三棱锥中，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 例11．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：正交分解 例12．（2023·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 例13．（2023·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 例14．（2023·高二课时练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 例15．（2023·福建三明·高二福建省宁化第一中学校考开学考试）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 例16．（2023·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（    ） A． B． C． D． 例17．（2023·全国·高二专题练习）设为空间的一个标准正交基底，，，则等于（    ） A．7 B． C．23 D．11 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 例18．（2023·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 例19．（2023·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足. (1)判断三个向量是否共面； (2)