第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题（五大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题 【题型归纳目录】 题型一：异面直线所成的角 题型二：线面角 题型三：二面角 题型四：距离问题 题型五：体积问题 【知识点梳理】 知识点1、求点线、点面、线面距离的方法 （1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 知识点2、异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求． 知识点3、直线与平面所成角的常用方法 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 知识点4、作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 知识点5、求体积的常用方法 选择合适的底面，再利用体积公式求解． 【典例例题】 题型一：异面直线所成的角 例1．（2023·福建南平·高一校考期末）如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（    ）    A． B． C． D． 例2．（2023·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习）如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 例3．（2023·陕西西安·高一西安市黄河中学校联考阶段练习）在正方体中，分别是的中点，则异面直线和所成角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 题型二：线面角 例4．（2023·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习）如图，四棱锥中，平面ABCD，，底面ABCD是矩形，且，．    求直线AC与平面APD所成的角的正弦值； 例5．（2023·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）如图，在正方体中，． (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成的角． 例6．（2023·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型三：二面角 例7．（2023·湖北武汉·高一武汉市第六中学校考阶段练习）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.    (1)在线段AC上是否存在点F，使得平面?如果存在，求出AF的值；如果不存在说明理由； (2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值. 例8．（2023·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形．    (1)若点E是PD的中点，证明：平面； (2)若， ，且平面平面，求二面角的正切值． 例9．（2023·河南洛阳·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且.    (1)证明：平面. (2)作出二面角的平面角，并求其大小. 例10．（2023·江苏苏州·高一校考阶段练习）四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为AD的中点，F为PC中点．    (1)求证：平面； (2)求PC与平面PAD所成的角的正切值； (3)求二面角的正弦值． 题型四：距离问题 例11．（2023·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习）在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，顶点在平面的射影为边的中点．    求点到平面的距离． 例12．（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥中，，，，，为等边三角形，． (1)证明：平面平面PBC； (2)