第三章 习题课 函数性质的综合问题-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

习题课　函数性质的综合问题 第三章　函数的概念与性质 学习目标 1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件. 2.掌握函数性质的综合应用问题. 一、函数图象的对称性 二、函数性质的综合应用 随堂演练 课时对点练 内容索引 3 函数图象的对称性 一 问题1　当函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称时，会满足怎样的条件呢？ 提示　如图所示，在x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a－x)＝f(a＋x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. 问题2　当函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称时，又会满足怎样的条件呢？ 提示　如图所示，在x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a－x)＝－f(a＋x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 知识梳理 1.函数图象关于直线对称 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴 f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a f(x)＝f(a－x) 直线x＝ f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝ 2.函数图象关于点对称 　　定义在R上的偶函数y＝f(x)，其图象关于点　　 对称，且x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋ ，则 等于 A.－1 　　 B.0 　　C.1 　　 D. 例1 √ 即f(1＋x)＋f(－x)＝0. 又∵y＝f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(1＋x)＋f(x)＝0，即f(1＋x)＝－f(x)， 解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法： (1)图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论. (2)性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题. 注意：使用性质要规范，切不可自创性质！ 反思感悟 　　　 若函数y＝f(x)在(0,2)上单调递增，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是 跟踪训练1 √ ∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(2－x)＝f(2＋x). 故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称， 函数性质的综合应用 二 　　已知函数f(x)＝　　 是定义在(－1,1)上的奇函数，且 . (1)确定函数f(x)的解析式. 例2 (2)用定义法证明f(x)在(－1,1)上是增函数. 任取x1，x2∈(－1,1)，且令x1<x2， ∵－1<x1<x2<1， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(－1,1)上是增函数. (3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0. f(t－1)<－f(t)＝f(－t). ∵f(x)在(－1,1)上是增函数， 奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域. 反思感悟 　　　 已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x). (1)求函数g(x)的定义域. 跟踪训练2 (2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集. 由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0， 所以f(x－1)≤－f(3－2x). 因为f(x)为奇函数，所以f(x－1)≤f(2x－3). 而f(x)在(－2,2)上是减函数， 课堂 小结 1.知识清单： (1)函数的对称轴和对称中心. (2)函数奇偶性的综合应用. 2.方法归纳：数形结合、等价转化. 3.常见误区：容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)＝0. 随堂演练 1.下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 2.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x1<0且x1＋x2>0，则 A.f(－x1)>f(－x2) B.f(－x1)＝f(－x2) C.f(－x1)<f(－x2) D.f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定 √ 3.已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是 A.(－∞，1) B.(－1，＋∞) C.[－1，＋∞) D.(－∞，1] √ 因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x＋1)≥f(－1). 又当x≥0时，函数f(x)单调递增， 所以函数f(x)在R上为增函数，所以f(2x＋1)≥f(－1)等价于2x＋1