第三章 习题课 反比例函数、对勾函数-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

习题课　反比例函数、对勾函数 第三章　函数的概念与性质 学习目标 1.掌握反比例函数和对勾函数的图象和性质. 2.能通过构造函数解决实际问题. 课时对点练 一、反比例函数的图象和性质 二、对勾函数的图象和性质 三、对勾函数的综合运用 随堂演练 内容索引 3 反比例函数的图象和性质 一 问题1　反比例函数的一般形式是什么？ 问题2　反比例函数的图象会过坐标原点吗？ 提示　不会，因为x≠0. 　　画出反比例函数y＝ 的图象. (1)求函数的定义域和值域； 例1 函数的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为{y|y≠0}. (2)判断函数的单调性和奇偶性. 令y＝f(x)，当k>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，没有单调递增区间，证明如下： 当x>0时，∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2， ∵k>0，x1>0，x2>0，x1<x2， ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 同理当x<0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减. 当k<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，没有单调递减区间(证明略). f(x)为奇函数. 研究反比例函数的几个方面 (1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到. (2)由图象或者单调性的定义可以判断函数的单调性，但一定要注意两个单调递增(减)区间的连接方法. (3)由图象或者奇偶性的定义可以判断函数的奇偶性. (4)函数图象关于(0,0)中心对称. 反思感悟 　　　 作出y＝ (－2≤x<1且x≠0)的图象，并指出其值域和单调区间. 跟踪训练1 由题意知函数y＝ (－2≤x<1且x≠0)的图象为反比例函数图象的一部分， 所以该函数图象如图： 由图象可知，函数y＝ (－2≤x<1且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪(2，＋∞). 单调递减区间为[－2,0)和(0,1)，没有单调递增区间. 对勾函数的图象和性质 二 问题3　观察函数y＝x＋ 解析式的特点，你想到了什么？ 提示　学习了幂函数，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行相关的运算，得到了新的函数y＝x＋ . 问题4　大家讨论一下，如何作出该函数的图象？ 提示　借助计算机软件，我们绘制出它的图象. 问题5　观察函数图象，你能发现函数图象有什么特点吗？ 提示　发现该函数图象介于y＝x和y轴之间，且图象无限接近y＝x和y轴，函数图象像两个勾子一样，故称此类函数为“对勾函数”. 问题6　结合函数的解析式和函数图象，你能得出f(x)＝x＋ 的哪些性质？ 提示　(1)定义域：∵x≠0， (5)最大值、最小值：由函数的值域可知，函数无最大、最小值，但是当x＞0时，函数有最小值为2，当x＜0时，函数有最大值为－2. (6)对称性：由函数的奇偶性可知，函数图象关于(0,0)成中心对称. 　　探究函数f(x)＝x＋ (a>0)的性质，并画出它的简图(单调性需证明， 其余性质列出即可). 例2 (1)定义域：{x|x≠0}； (3)奇偶性：奇函数； 所以x1－x2<0,0<x1x2<a， 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2). 因为x1－x2<0，x1x2>a， 所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2). 其图象如图所示. 延伸探究　当a<0时，探究该函数的性质，并画出函数的简图(单调性需证明，其余性质列出即可). (1)定义域：{x|x≠0}； (2)值域：R； (3)奇偶性：奇函数； (4)函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 因为0<x1<x2，所以x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增； 同理可知，函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增. 其简图如图所示. (1)x∈[1,3]，f(x)的最小值是____； 跟踪训练2 2 ∵f(x)在[1,3]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(1)＝2. ∴最小值为f(1)＝2， 对勾函数的综合运用 三 问题7　应用基本不等式求最值应注意哪些？ 提示　一正，二定，三相等. (1)当a＝4时，求函数f(x)在x∈(0，＋∞)上的最小值； 例3 ∴f(x)的最小值为2. (2)当a>0时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 设f(x)的最小值为g(a)， 求对勾函数的最值问题，可以利用函数的单调性研究，也可以利用基本不等式. 反思感悟 (1)已知x＞0，求y＝ 的最大值，并求此时x的值. 跟